在概率论中，概率分布和概率密度函数是描述随机变量行为的重要工具。理解这两个概念对于掌握数据分析和人工智能是至关重要的。
概率分布函数
概率分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）描述一个随机变量小于或等于某个特定值的概率。对于一个随机变量 $X$，其概率分布函数 $F(x)$ 定义为：
$$
F(x) = P(X \leq x)
$$
离散随机变量的例子
考虑一个简单的例子：抛一个公平的六面骰子。令 $X$ 表示骰子的结果。$X$ 的取值为 $1, 2, 3, 4, 5, 6$。我们可以算出其概率分布函数 $F(x)$：
- $F(1) = P(X \leq 1) = P(X = 1) = \frac{1}{6}$
- $F(2) = P(X \leq 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
- $F(3) = P(X \leq 3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
- $F(4) = P(X \leq 4) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
- $F(5) = P(X \leq 5) = \frac{5}{6}$
- $F(6) = P(X \leq 6) = 1$
可以用 Python 代码来计算这个概率分布函数：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
| import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x_values = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
f_values = [1/6 * (i+1) for i in range(6)]
plt.step(x_values, f_values, where='post', label='CDF of Dice Roll')
plt.title('Cumulative Distribution Function')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('F(x)')
plt.xticks(x_values)
plt.yticks(np.arange(0, 1.1, 0.1))
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()
|
连续随机变量的例子
对于连续随机变量，比如说 $X$ 是服从均匀分布 $U(0, 1)$ 的随机变量，其概率分布函数为：
$$
F(x) =
\begin{cases}
0 & \text{if } x < 0 \
x & \text{if } 0 \leq x \leq 1 \
1 & \text{if } x > 1
\end{cases}
$$
可以将其图形化：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
| x = np.linspace(-0.5, 1.5, 100)
F_x = np.where(x < 0, 0, np.where(x <= 1, x, 1))
plt.plot(x, F_x, label='CDF of Uniform(0, 1)')
plt.title('Cumulative Distribution Function')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('F(x)')
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()
|
概率密度函数
概率密度函数（Probability Density Function, PDF）是描述连续随机变量取某一个确定值的相对可能性的函数。对于一个连续随机变量 $X$，其概率密度函数 $f(x)$ 需要满足：
- $f(x) \geq 0$ 对于所有 $x$。
- 函数的积分在整个实数范围内为1：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) , dx = 1
$$
正态分布的例子
正态分布是最常见的概率密度函数之一，其 PDF 科学公式为：
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
其中 $\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。比如，我们取 $\mu = 0$, $\sigma = 1$ 来绘制标准正态分布的 PDF：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
| import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
mu = 0
sigma = 1
x = np.linspace(-4, 4, 100)
f_x = (1/(np.sqrt(2 * np.pi * sigma**2))) * np.exp(-(x - mu)**2 / (2 * sigma**2))
plt.plot(x, f_x, label='PDF of Normal(0, 1)')
plt.title('Probability Density Function')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()
|
指数分布的例子
假设你在等待一个随机事件（例如电话的到来）。如果这个事件的间隔时间服从指数分布，其概率密度函数为：
$$
f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad (x \geq 0)
$$
其中 $\lambda$ 是发生率。假设 $\lambda = 1$，我们就可以绘制这个函数：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
| lambda_value = 1
x = np.linspace(0, 5, 100)
f_x = lambda_value * np.exp(-lambda_value * x)
plt.plot(x, f_x, label='PDF of Exponential(1)')
plt.title('Probability Density Function')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()
|
总结
在机器学习和人工智能中，理解随机变量的概率分布与概率密度函数可以帮助你更好地处理不确定性和随机性。在实际应用中，无论是建模、分析数据还是进行预测，这些数学工具都是不可或缺的。
