7 二项分布详解
在上一篇的教程中,我们讨论了随机变量以及对应的累积分布函数与概率密度函数。本篇将深入到常见的概率分布之一——二项分布。理解二项分布不仅对基础统计学的重要性不言而喻,也对我们在数据科学与人工智能领域中的应用至关重要。
什么是二项分布?
二项分布是指在进行一系列独立的伯努利实验(即每次实验只有两个可能的结果,例如“成功”与“失败”)后,成功次数的分布。其核心思想是通过多个相同实验结果的重复,来分析成功事件的概率。
二项分布的参数
二项分布由两个参数决定:
- :实验的总次数。
- :每次实验成功的概率。
我们用随机变量 来表示在 次实验中成功的次数。 服从参数为 和 的二项分布,记作 。
二项分布的概率质量函数
二项分布的概率质量函数(PMF)定义为:
这里, 是组合数,表示从 次实验中选择 次成功的方式。
期望和方差
对于二项分布,期望和方差的公式为:
- 期望:
- 方差:
实际案例
我们以一个简单的抛硬币为例来说明二项分布的应用。假设我们抛一枚均匀的硬币 10 次,每次出现正面的概率为 。
- 实验设置:,
- 我们想知道:在 10 次抛掷中,得到正面(成功)次数为 3 的概率。
根据二项分布的概率质量函数,我们可以计算:
计算组合数:
所以,
这个结果表明,在 10 次抛掷中得到 3 次正面的概率为约 11.72%。
代码示例
我们可以用 Python 来计算不同成功次数的概率:
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
n = 10 # 实验次数
p = 0.5 # 成功概率
# 可视化二项分布的概率质量函数
x = np.arange(0, n+1)
pmf = stats.binom.pmf(x, n, p)
plt.bar(x, pmf, color='blue', alpha=0.7)
plt.title(f'Binomial Distribution PMF (n={n}, p={p})')
plt.xlabel('Number of Successes')
plt.ylabel('Probability')
plt.xticks(x)
plt.show()
运行上面的代码可以生成一个条形图,展示在 次实验中获得不同成功次数的概率分布情况。
小结
在本篇中,我们详细探讨了二项分布的定义、公式以及如何通过实际案例来计算概率。下一篇教程我们将讨论正态分布,这是概率与统计中一个更为复杂且重要的概念。在深入了解正态分布之前,确保对本篇的内容理解透彻,这是非常关键的基础知识。