在上一篇中，我们讨论了神经元模型与激活函数，它们是构建深度学习模型的基本单元。接下来，我们将深入探讨两个关键过程：前向传播和反向传播。这两者是神经网络训练的核心机制。

前向传播

在神经网络中，前向传播是指输入数据通过网络进行处理的过程。这一过程涉及到每个神经元的计算，最终输出网络的预测结果。

1. 前向传播过程

假设我们有一个简单的全连接网络，包含输入层、一个隐藏层以及输出层。假设输入层的节点数为 $n_{\text{input}}$，隐藏层的节点数为 $n_{\text{hidden}}$，输出层的节点数为 $n_{\text{output}}$。

步骤如下：

1. 输入层传递输入向量： 输入向量可以表示为 $X = [x_1, x_2, ..., x_{n_{\text{input}}}]^T$。

2. 计算隐藏层输出： 隐藏层到每个神经元的输入是前一层（输入层）的输出与相应的权重相乘并加上偏置：

   $$Z^{(1)} = W^{(1)}X + b^{(1)}$$

   其中，$W^{(1)}$ 是从输入层到隐藏层的权重矩阵，$b^{(1)}$ 是隐藏层的偏置向量。然后，经过激活函数激活：

   $$A^{(1)} = \sigma(Z^{(1)})$$

   其中，$\sigma$ 是选择的激活函数，如ReLU、Sigmoid等。

3. 计算输出层输出： 输出层的计算过程与隐藏层类似，设置 $A^{(1)}$ 为输入：

   $$Z^{(2)} = W^{(2)}A^{(1)} + b^{(2)}$$

   激活得到输出：

   $$A^{(2)} = \text{softmax}(Z^{(2)})$$

   在分类任务中，我们通常使用 softmax 函数作为输出层的激活函数，以获得各类别的概率分布。

2. 示例代码

下面是一个使用Python和NumPy库实现简单前向传播的示例代码：

import numpy as np

# 定义激活函数
def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

# 前向传播示例
def forward_propagation(X, W1, b1, W2, b2):
    # 隐藏层计算
    Z1 = np.dot(W1, X) + b1
    A1 = sigmoid(Z1)
    
    # 输出层计算
    Z2 = np.dot(W2, A1) + b2
    A2 = np.exp(Z2) / np.sum(np.exp(Z2), axis=0)  # softmax
    return A1, A2

# 假设输入和参数
X = np.array([[0.1], [0.2]])
W1 = np.random.rand(3, 2)  # 隐藏层权重
b1 = np.random.rand(3, 1)  # 隐藏层偏置
W2 = np.random.rand(2, 3)  # 输出层权重
b2 = np.random.rand(2, 1)  # 输出层偏置

A1, A2 = forward_propagation(X, W1, b1, W2, b2)
print("隐藏层输出:", A1)
print("最终输出:", A2)
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在这个例子中，我们定义了一个简单的前向传播过程，得到了隐藏层和输出层的结果。

反向传播

反向传播是用来训练神经网络的过程，其目标是通过调整权重和偏置来减少网络的误差。反向传播的核心是应用链式法则计算损失函数关于各个参数的梯度。

1. 反向传播过程

1. 计算输出误差： 输出层的误差为：

   $$\delta^{(2)} = A^{(2)} - Y$$

   其中，$Y$ 是实际标签。

2. 计算输出层梯度： 输出层权重梯度为：

   $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W^{(2)}} = \delta^{(2)} A^{(1)T}$$

   输出层偏置梯度为：

   $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b^{(2)}} = \delta^{(2)}$$

3. 反向传播到隐藏层： 隐藏层的误差由输出层的误差通过权重传递回来的：

   $$\delta^{(1)} = (W^{(2)T} \delta^{(2)}) \circ \sigma'(Z^{(1)})$$

   其中，$\circ$ 表示Hadamard乘积，$\sigma'(Z^{(1)})$ 是激活函数的导数。

4. 计算隐藏层梯度： 隐藏层权重梯度为：

   $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W^{(1)}} = \delta^{(1)} X^T$$

   隐藏层偏置梯度为：

   $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b^{(1)}} = \delta^{(1)}$$

2. 示例代码

下面是相应的反向传播的实现示例：

# 反向传播示例
def backward_propagation(X, Y, A1, A2, W2):
    m = Y.shape[1]  # 样本数

    # 计算误差
    delta2 = A2 - Y
    dW2 = np.dot(delta2, A1.T) / m
    db2 = np.sum(delta2, axis=1, keepdims=True) / m

    # 传播到隐藏层
    delta1 = np.dot(W2.T, delta2) * (A1 * (1 - A1))  # sigmoid的导数
    dW1 = np.dot(delta1, X.T) / m
    db1 = np.sum(delta1, axis=1, keepdims=True) / m

    return dW1, db1, d
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