在上一篇教程中，我们讨论了概率的基本概念，包括事件、样本空间、概率的定义等。这一篇，我们将进一步探讨常见的概率分布，这些分布是理解统计学中概率模型的基础。概率分布为我们提供了随机变量的可能值及其对应的概率。

概率分布的基本概念

首先，让我们理解一下概率分布。概率分布是一种描述随机变量的可能取值及其对应概率的函数。随机变量可以是离散的也可以是连续的，因此我们有两种主要的概率分布类型：

1. 离散概率分布：描述离散随机变量的分布。常见的离散分布有：

   • 伯努利分布
   • 二项分布
   • 泊松分布

2. 连续概率分布：描述连续随机变量的分布。常见的连续分布有：

   • 正态分布
   • 指数分布
   • 均匀分布

接下来，我们将详细讨论每一种分布。

离散概率分布

伯努利分布

伯努利分布是最简单的离散分布，它描述两种结果（如成功与失败）的随机试验。一个随机变量 $X$ 服从伯努利分布表示为 $X \sim \text{Bernoulli}(p)$，其中 $p$ 是成功的概率。

• 概率质量函数（PMF）为：

  $$P(X = 1) = p, \quad P(X = 0) = 1 - p$$

示例：抛一次硬币，正面朝上的概率（成功）为 $p = 0.5$。

二项分布

二项分布是多个独立伯努利实验结果的总和。如果一个随机变量 $X$ 服从二项分布，表示为 $X \sim \text{Binomial}(n, p)$，其中 $n$ 是实验次数，$p$ 是每次实验成功的概率。

• 概率质量函数（PMF）为：

  $$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n$$

示例：掷 $n = 10$ 次硬币，正面朝上的次数 $X$ 服从 $\text{Binomial}(10, 0.5)$。

泊松分布

泊松分布用于描述单位时间或单位面积内某事件发生次数的概率。一个随机变量 $X$ 服从泊松分布表示为 $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$，其中 $\lambda$ 是在给定区间内的事件平均发生次数。

• 概率质量函数（PMF）为：

  $$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$$

示例：假设一个电话接线员平均每小时接到 5 个电话，则接到 $k$ 个电话的概率为 $X \sim \text{Poisson}(5)$。

连续概率分布

正态分布

正态分布是最常见的连续分布之一，许多自然现象结合中央极限定理，趋于正态分布。一个随机变量 $X$ 服从正态分布表示为 $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu$ 是均值，$\sigma^2$ 是方差。

• 概率密度函数（PDF）为：

  $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$$

示例：人的身高一般可以用正态分布建模，假设均值为 170 cm，标准差为 10 cm。则身高 $X \sim \mathcal{N}(170, 10^2)$。

指数分布

指数分布通常用于描述某事件发生的时间间隔，特别是在泊松过程中。如果一个随机变量 $X$ 服从指数分布，表示为 $X \sim \text{Exponential}(\lambda)$，其中 $\lambda$ 是事件的发生率。

• 概率密度函数（PDF）为：

  $$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$$

示例：假设某个机器的故障时间服从指数分布，发生率为 0.1 次/小时，则 $X \sim \text{Exponential}(0.1)$。

均匀分布

均匀分布表示在某个区间内所有结果的可能性相等。如果一个随机变量 $X$ 在区间 $[a, b]$ 上均匀分布，表示为 $X \sim \text{Uniform}(a, b)$。

• 概率密度函数（PDF）为：

  $$f(x) = \frac{1}{b - a}, \quad a \leq x \leq b$$

示例：从 0 到 1 的均匀分布 $X \sim \text{Uniform}(0, 1)$ 表示所有值在这个区间内都是等可能的。

代码示例

以下是使用 Python 的 numpy 和 matplotlib 库生成不同概率分布的示例代码。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

# 伯努利分布
p = 0.5
bern = np.random.binomial(1, p, 1000)
sns.histplot(bern, bins=2, kde=False, color='blue')
plt.title('Bernoulli Distribution (p=0.5)')
plt.show()

# 二项分布
n = 10
binom = np.random.binomial(n, p, 1000)
sns.histplot(binom, bins=11, kde=False, color='green')
plt.title('Binomial Distribution (n=10, p=0.5)')
plt.show()

# 正态分布
mu, sigma = 170, 10
normal = np.random.normal(mu, sigma, 1000)
sns.histplot(normal, bins=30,
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