2 平衡二叉树之红黑树的特性与应用

在上一篇文章中，我们讨论了平衡二叉树中的 AVL 树的特点与实现。在本篇文章中，我们将深入探讨红黑树的特性与应用，这是一种广泛使用的自平衡二叉搜索树，具有许多重要的优点。

红黑树的基本特性

红黑树是一种带颜色的二叉搜索树，每个节点都有一个颜色属性，可以是 红色 或 黑色。红黑树满足以下五个性质：

1. 节点是红色或黑色：每个节点都是 红色 或 黑色。
2. 根节点是黑色：树的根节点必须是 黑色。
3. 红色节点的子节点是黑色：如果一个节点是 红色，那么它的两个子节点必须是 黑色。这避免了两个连续的 红色 节点。
4. 每个节点到其每个叶子节点的路径都有相同数量的黑色节点：从任意节点到其 nullptr 子节点的所有路径都包含相同数量的 黑色 节点。
5. 树的高度是平衡的：对于每个节点，其左、右子树的高度差不超过 2。

这些性质的结合确保了红黑树的高度是对数级别，即 $h \leq 2 \log(n+1)$，其中 $n$ 是树中的节点数量。这使得红黑树的基本操作（如插入、删除和查找）在最坏情况下的时间复杂度均为 $O(\log n)$。

红黑树的操作

插入操作

在红黑树中进行插入操作时，我们遵循以下步骤：

1. 普通的二叉搜索树插入：首先将节点以 红色 插入到树中，作为普通的二叉搜索树的插入。
2. 调整树的性质：在插入后，可能会引起红黑树性质的冲突。我们需要通过 旋转 和 重新着色 来维护红黑树的性质。

以下是插入过程中的几种情况及其调整：

• 情况 1：父节点是黑色，不需要调整。
• 情况 2：父节点是红色，叔叔节点也是红色：将父节点和叔叔节点都设为黑色，祖父节点设为红色，然后移动到祖父节点继续检查。
• 情况 3：父节点是红色，叔叔节点是黑色（或 nullptr）：根据插入节点和父节点的关系（左孩子或右孩子）进行 旋转。

代码示例

以下是红黑树插入的 Python 代码示例：

class Node:
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        self.color = 'red'  # 新节点为红色
        self.left = None
        self.right = None
        self.parent = None

class RedBlackTree:
    def __init__(self):
        self.NIL_LEAF = Node(None)
        self.NIL_LEAF.color = 'black'
        self.root = self.NIL_LEAF

    def insert(self, data):
        new_node = Node(data)
        new_node.left = self.NIL_LEAF
        new_node.right = self.NIL_LEAF
        self._insert_helper(new_node)
        self._fix_insert(new_node)

    def _insert_helper(self, new_node):
        # 插入代码，如同普通 BST
        # ...

    def _fix_insert(self, node):
        # 修正红黑树性质
        # ...

删除操作

删除操作略微复杂，需考虑以下情形：

1. 如果删除的是 黑色 节点，将破坏黑色节点计数，因此需要进行调整。
2. 如果删除的是 红色 节点，情况相对简单，因为删除一个 红色 节点不会影响黑色节点的数量。

删除后的调整也可能会引起树的性质冲突，需要多次的 旋转 和 着色 来恢复红黑树的性质。

红黑树的应用

红黑树的应用非常广泛，尤其在以下场景中尤为有效：

• **STL（标准模板库）中的 map 和 set**：C++ 的标准库使用红黑树作为其底层实现，以确保即时查找的效率。
• 数据库索引：红黑树可以用作高效的索引结构，使得数据可以快速插入、删除和查找。
• 操作系统的任务调度：红黑树可用于跟踪系统中的任务，以确保按优先级有效调度。

总结

红黑树通过引入颜色属性和调整机制，成功地提供了一种高效的自平衡二叉搜索树结构。它的应用范围非常广泛，对于要求高效率的数据存取场景非常适合。

在下一篇文章中，我们将继续讨论平衡二叉树中的旋转操作，这是维护平衡的重要手段之一，期待与您一起深入探索这一主题！