8 常见的非对称加密算法

在上一篇文章中，我们详细讨论了非对称加密的基本原理，了解了它是如何通过一对密钥（公钥和私钥）来实现加密和解密的。在这一篇中，我们将深入探讨一些常见的非对称加密算法及其特点、应用案例，以为后续的应用场景分析打下基础。

1. RSA算法

RSA（Rivest–Shamir–Adleman） 是最广泛使用的非对称加密算法之一。它的安全性基于大数分解的困难性。

算法概述

RSA算法的主要步骤包括：

1. 选择两个大质数$p$和$q$。
2. 计算$n = p \times q$，并计算$\phi(n) = (p-1)(q-1)$。
3. 选择一个小于$\phi(n)$并与$\phi(n)$互质的整数$e$，通常选择公认的值如$65537$。
4. 计算$d$，使得$d \equiv e^{-1} \mod \phi(n)$。
5. 得到的公钥是$(e, n)$，私钥是$(d, n)$。

示例

假设我们选择$p = 61$，$q = 53$：

• 计算$n = 61 \times 53 = 3233$。
• 计算$\phi(n) = (61-1)(53-1) = 3120$。
• 选择$e = 17$，然后求出$d$使得$17d \equiv 1 \mod 3120$，则$d = 2753$。

公钥为$(17, 3233)$，私钥为$(2753, 3233)$。

加密和解密

• 加密消息$m$：计算$c \equiv m^e \mod n$。
• 解密密文$c$：计算$m \equiv c^d \mod n$。

2. DSA算法

DSA（Digital Signature Algorithm） 是专门用于数字签名的非对称算法，它通过生成私钥和公钥来进行消息的验证。

算法概述

DSA的主要步骤如下：

1. 选择一个质数$p$和其生成的素数$q$（$q$是$p-1$的一个因子）。
2. 选择一个生成元$g$，使得$g$是$p$的一个素数根。
3. 选择私钥$x \in [1, q-1]$。
4. 计算公钥$y \equiv g^x \mod p$。

示例

假设$p = 23$，$q = 11$，$g = 4$，私钥为$x = 7$，则公钥为：
$$y \equiv 4^7 \mod 23 = 18$$

签名过程

1. 选择随机数$k \in [1, q-1]$，计算$r \equiv (g^k \mod p) \mod q$。
2. 计算$s \equiv k^{-1}(H(m) + xr) \mod q$，其中$H(m)$是消息的哈希值。

得到的数字签名为$(r, s)$。

验证过程

验证签名$(r, s)$的步骤如下：

1. 检查$r$和$s$是否在有效范围内。
2. 计算$w \equiv s^{-1} \mod q$。
3. 计算$v_1 = (H(m)w) \mod q$和$v_2 = (r^{-1}g^vw) \mod p$，最后验证$u_1 \equiv v_2 \mod p$。

3. ECC算法

ECC（Elliptic Curve Cryptography） 是一种基于椭圆曲线数学的非对称加密算法，因其相较于其他算法需要的密钥长度更短而备受关注。

算法概述

ECC的运作机制与RSA相似，但加密和解密是基于椭圆曲线的数学性质。

示例

例如，选择一条椭圆曲线$E: y^2 = x^3 + ax + b$以及基点$G$。然后选择私钥$d$，计算公钥为$Q = d \cdot G$。

加密和解密

1. 加密：选择随机数$k$，计算$c_1 = k \cdot G$，并计算$c_2 = P + k \cdot Q$。
2. 解密：计算$M = c_2 - d \cdot c_1$。

小结

本节讨论了几种常见的非对称加密算法，包括RSA、DSA和ECC。每种算法都有其独特的特点和优劣，适用于不同的场景。在下一篇中，我们将探讨这些非对称加密算法在实际应用中的具体场景和作用。通过结合实际案例，加深对非对称加密技术的理解和应用能力。