在上一篇文章中，我们探讨了 Markov决策过程（MDP）的基本概念，包括状态、动作和奖励。这些构成了强化学习的基础框架。在本篇中，我们将深入讨论 MDP 中的重要元素之一：折扣因子与价值函数。这些概念不仅是理论上的重要工具，而且在实际应用中也具有重要的意义。

价值函数

在强化学习中，价值函数用于评估某一状态或状态-动作对的价值。一般而言，价值函数可以分为两类：

1. 状态价值函数 $V(s)$：给定一个状态 $s$，它表示从该状态出发，在策略 $\pi$ 下，未来所能获得的期望回报。
2. 动作价值函数 $Q(s, a)$：给定一个状态 $s$ 和一个动作 $a$，它表示在状态 $s$ 下执行动作 $a$，然后遵循策略 $\pi$ 所能获得的期望回报。

状态价值函数和动作价值函数的计算公式如下：

• 状态价值函数：

  $$V_\pi(s) = \mathbb{E}_\pi \left[ \sum_{t=0}^{\infty} \gamma^t R_t \mid S_0 = s \right]$$

• 动作价值函数：

  $$Q_\pi(s, a) = \mathbb{E}_\pi \left[ \sum_{t=0}^{\infty} \gamma^t R_t \mid S_0 = s, A_0 = a \right]$$

在上面的公式中：

• $R_t$ 是在时间步 $t$ 获得的即时奖励。
• $\gamma$ 是 折扣因子，其值在 $[0, 1]$ 的范围内。

折扣因子

折扣因子 $\gamma$ 是 MDP 中一个重要的超参数，它决定了未来奖励的当前值。其物理意义在于，随着时间的推移，未来的奖励会被“折扣”到现在的价值。具体来说：

• 当 $\gamma$ 接近 $1$ 时，未来的奖励与当前的奖励几乎同等重要，模型将倾向于追求长期回报。
• 当 $\gamma$ 接近 $0$ 时，模型更看重当前的奖励，短期决策将成为优先考虑的因素。

案例分析

假设我们有一个简单的游戏，玩家在一个 1 到 10 的数字上进行“拿奖励”的游戏。每个时刻玩家都有机会选择一个数字 $x$，获取该数字的奖励，而游戏会在 $10$ 轮后结束。

选择一个折扣因子 $\gamma = 0.9$ 和一个奖励序列 $R_0, R_1, \ldots, R_9$，我们可以计算每一步的状态价值。假设奖励序列为 $R_t = 10 - t$，那么我们可以通过以下方式计算从初始状态 $S_0$ 取得的折现价值：

def compute_value(gamma, rewards):
    total_value = 0
    for t in range(len(rewards)):
        total_value += (gamma ** t) * rewards[t]
    return total_value

rewards = [10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]
gamma = 0.9
value = compute_value(gamma, rewards)
print("折现价值:", value)
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执行上述代码，我们将获得该游戏的总折现价值。

小结

在本篇中，我们深入探讨了 Markov决策过程中的折扣因子与价值函数，它们不仅为我们提供了量化决策的工具，也为强化学习算法的设计奠定了基础。我们看到，折扣因子的选择直接影响到代理（Agent）的决策行为，在不同的环境中可能需要进行不同的调整。

下一篇文章将继续讨论动态规划，它是强化学习中的一种重要方法，我们将介绍其基本思想和框架，如何利用动态规划来解决 MDP 的问题。