9 状态压缩动态规划

在上一篇中，我们讨论了动态规划的经典问题及其解法，掌握了如何使用动态规划解决一些常见的最优化问题。本篇将深入探讨一个比较高级的动态规划技巧——状态压缩动态规划。状态压缩动态规划常用于解决状态空间非常大的问题，通过对状态进行有效压缩，使得计算变得更加高效和可行。

什么是状态压缩动态规划？

状态压缩动态规划的核心思想是利用位运算来压缩状态空间。通常，在动态规划中，状态是由多个变量构成的，而状态压缩技术通过位运算将这些状态压缩成一个整数（通常是一个二进制数）来代表多个状态，从而显著减少所需的内存和计算时间。

应用场景

状态压缩动态规划特别适合以下情况：

1. 子集问题：当你需要处理一些状态时，这些状态可以看作是某个集合的子集。
2. 小规模数据：状态编号不是很大，适合用位运算来表示。
3. 多维状态：当状态的维度较高，但每维状态的取值范围有限。

案例解析：旅行商问题的状态压缩动态规划

问题描述

旅行商问题（TSP）要求旅行商在给定的城市之间走一圈，尽量使得总路线长度最小。它的状态可以用dp[mask][i]来表示：到达状态mask时，最后一个访问的城市是i。这里，mask是一个二进制数，表示访问了哪些城市。

状态定义

• mask：一个整型变量的二进制表示，长度为n（城市数量），每一位对应一个城市，位为1表示已经访问过，位为0表示未访问。
• i：当前处于的城市。

状态转移方程

状态转移方程可以表示为：

$$
dp[mask][i] = \min(dp[mask][i], dp[mask \setminus (1 << i)][j] + dist[j][i])
$$

其中，j为mask中除了i之外的城市，dist[j][i]代表从城市j到城市i的距离。

初始化

对于从城市0出发的初始状态：

$$
dp[1][0] = 0
$$

最终结果

最终，我们需要返回从城市0出发，访问所有城市后返回城市0的最小路径长度：

$$
\min(dp[all_visited][i] + dist[i][0]), \forall i
$$

代码实现

下面是状态压缩动态规划解决旅行商问题的Python代码示例：

import sys

def tsp(n, dist):
    # 数量为2^n的二维数组
    INF = sys.maxsize
    dp = [[INF] * n for _ in range(1 << n)]
    dp[1][0] = 0  # 从城市0出发

    for mask in range(1 << n):
        for i in range(n):
            # 如果状态mask中包含城市i
            if mask & (1 << i):
                # 尝试从其他城市j转移到i
                for j in range(n):
                    if mask & (1 << j) and j != i:
                        dp[mask][i] = min(dp[mask][i], dp[mask ^ (1 << i)][j] + dist[j][i])

    all_visited = (1 << n) - 1  # 所有城市都已访问
    ans = min(dp[all_visited][i] + dist[i][0] for i in range(1, n))
    
    return ans

# 示例输入
cities = 4
distances = [
    [0, 10, 15, 20],
    [10, 0, 35, 25],
    [15, 35, 0, 30],
    [20, 25, 30, 0]
]

result = tsp(cities, distances)
print("最小旅行成本:", result)

总结

通过状态压缩动态规划，我们成功将旅行商问题中的状态空间进行了有效压缩，大幅提升了求解效率。这种方法在多个组合优化问题中均有很好的应用，尤其是在处理子集、组合问题时。

在下一篇中，我们将继续探讨贪心算法及其基础应用，学习如何在适当的场景中使用贪心算法提升算法效率。希望大家在本篇中的学习能够为今后的问题解决提供新的视角和方法！