7 高级统计建模之线性回归模型深入探讨

在上一篇中，我们探讨了数据可视化的进阶技巧，尤其是交互式可视化。现在，我们将深入讨论一个重要的统计建模工具——线性回归模型。线性回归是一种预测分析方法，用于确定因变量与一个或多个自变量之间的线性关系。此篇教程将详细介绍线性回归的基础知识、模型构建、诊断方法，以及如何在 R 中实现它。

线性回归模型基础

线性回归模型的基本形式可以表示为：

$$
Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + … + \beta_n X_n + \epsilon
$$

其中：

• $Y$ 是因变量（响应变量）。
• $X_1, X_2, …, X_n$ 是自变量（预测变量）。
• $\beta_0$ 是截距。
• $\beta_1, \beta_2, …, \beta_n$ 是回归系数。
• $\epsilon$ 是误差项，假定其均值为0。

线性回归的假设

在构建线性回归模型之前，有几个主要假设需要满足：

1. 线性关系：因变量与自变量之间存在线性关系。
2. 独立性：残差（预测值与实际值之差）之间独立。
3. 同方差性：残差的方差应当相同，即不存在异方差性。
4. 正态性：残差应近似服从正态分布。

模型构建与实现

在 R 中，构建线性回归模型非常直观。我们将使用 lm() 函数来实现线性回归。以下是一个案例，使用内置于 R 中的 mtcars 数据集，来预测汽车的每加仑油耗 mpg（Miles Per Gallon）基于其发动机排量 disp 和马力 hp。

1. 加载数据

# 加载所需的库
library(ggplot2)

# 查看数据集
data("mtcars")
head(mtcars)

2. 创建线性回归模型

使用 lm() 函数创建模型：

# 创建线性回归模型
model <- lm(mpg ~ disp + hp, data = mtcars)

# 查看模型摘要
summary(model)

模型摘要将提供包括回归系数、R平方值、F值等重要信息。

3. 模型诊断

在线性回归中，进行模型诊断非常重要。我们常用以下几个方法：

• 残差分析：检查残差是否满足正态性和同方差性。

# 残差与拟合值图
plot(model$fitted.values, model$residuals)
abline(h = 0, col = "red")

• QQ图：检查残差的正态性。

# QQ图
qqnorm(model$residuals)
qqline(model$residuals, col = "red")

• Cook’s D 检测异常值：

# 计算Cook's D
cooksd <- cooks.distance(model)

# 绘制Cook's D图
plot(cooksd, type = "h", main = "Cook's Distance", ylab = "Cook's Distance")
abline(h = 4/(nrow(mtcars)-length(model$coefficients)-2), col = "red")

4. 预测

使用所构建的模型进行新数据的预测：

# 新数据
new_data <- data.frame(disp = c(200, 300), hp = c(100, 150))

# 进行预测
predict(model, new_data)

小结

在本篇中，我们深入了解了线性回归模型的构建及诊断。通过实际案例，我们不仅学习了如何在 R 中实现线性回归，还掌握了如何分析与评估模型的有效性。线性回归是统计建模的重要工具，具有广泛的应用场景。

在即将到来的下一篇教程中，我们将进一步探讨广义线性模型（GLM），这是一种更为灵活的模型工具，可以用于处理非正态分布的数据。希望大家在数据分析的旅程中不断探索、学习和进步！