在上篇教程中，我们讨论了各种建模技术与工具。这一篇将重点关注3D图形中的物体变形与动画，探索如何通过变形技术使得静态模型具有生命力，以及为何动画在计算机图形学中的作用至关重要。

物体的变形

物体变形是指在三维空间中修改物体的形状以实现特定效果。变形可以用于提升效果的真实感、创造动画或响应用户输入等。根据实施的方式，物体的变形可分为以下几类：

1. 顶点变形

顶点变形是最基本的变形方法，通过直接修改三维模型的顶点位置来改变对象的形状。例如，在创建一个“香蕉”模型时，我们可以通过简单的位移操作，把顶点的位置向上和向后移动，从而形成弯曲的效果。

示例代码（Python，使用 Pygame 和 PyOpenGL）:

import numpy as np
from OpenGL.GL import *
from OpenGL.GLUT import *

# 顶点数组
vertices = np.array([
    [0, 0, 0],
    [1, 0, 0],
    [1, 1, 0],
    [0, 1, 0]
], dtype='float32')

# 顶点变形
def deform_vertices(vertices):
    for i in range(vertices.shape[0]):
        vertices[i][1] += np.sin(vertices[i][0] * 10) * 0.1  # 简单的波动变形
    return vertices

# 绘制函数
def draw():
    glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT)
    glBegin(GL_QUADS)
    for v in deform_vertices(vertices):
        glVertex3fv(v)
    glEnd()
    glutSwapBuffers()

glutInit()
glutInitDisplayMode(GLUT_DOUBLE | GLUT_RGB)
glutInitWindowSize(400, 400)
glutCreateWindow("变形示例")
glutDisplayFunc(draw)
glutMainLoop()
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2. 骨骼动画

骨骼动画是一种更复杂的技术，它使用一组“骨骼”控制模型的变形。每个骨骼与若干个顶点关联，以实现基于骨骼的变形。通过移动、旋转骨骼，可以获得更自然的动画效果。

骨骼动画的基本原理

骨骼动画的基本原理是使用“绑定”（Binding）将模型的顶点与骨骼连接。通过对骨骼进行变换，间接影响顶点的位置。

$$\text{Vertex}_{new} = \sum_{i} (W_i \cdot \text{Bone}_i(\text{Vertex}_{original}))$$

其中，$W_i$ 是顶点对骨骼 $\text{Bone}_i$ 的权重。

3. 隐式变形

隐式变形通常用于模拟自然现象，如水、烟等。这种技术使用物理公式或其它数学模型来模拟变形效果。

实例：流体模拟

在流体模拟中，常常使用 Navier-Stokes 方程来描述流体的动态行为。应用计算流体力学（CFD）算法，可以生成逼真的流体动画。

$$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}$$

这个方程描述了流体速度 $\mathbf{u}$、压力 $p$、密度 $\rho$ 和粘度 $\nu$ 之间的关系。

动画实现

动画的基本概念

动画是通过快速迭代显示一系列图像或帧来创建运动感觉的技术。它将静态场景转化为动态视觉表现。动画可以是基于关键帧的，也可以是程序生成的。无论哪种方法，物体的变形过程都是至关重要的。

关键帧动画（下篇讲解的重点）

关键帧动画是一种常用的动画技术，通过在动画的不同时间点设置关键帧，系统将在这些帧之间插值生成平滑的过渡。下一篇文章将深入探讨这一技术。

总结

在计算机图形学中，物体的变形与动画通过多种方法实现，从简单的顶点变形到复杂的骨骼动画和隐式变形。这些技术不仅使得虚拟物体更具生命感，而且成为动画制作过程中的基石。对于技术的掌握至关重要，帮助我们创建更加生动的视觉体验。

下一篇教程将继续深入探讨“关键帧动画”技术，提升您对动画制作的理解与应用能力。