27 计算机图形学中的几何算法

在计算机图形学中，几何算法的核心任务是处理和计算图形对象的几何特征。这些算法在图形的生成、变换以及光照计算中扮演了不可或缺的角色。在本节中，我们将详细探讨几何算法的几个重要方面，包括基本几何运算、碰撞检测、曲线和曲面绘制等。

基本几何运算

几何算法的基础通常涉及点、线、面等几何元素的操作。以下是一些常见的几何算法：

1. 点与向量运算

在计算机图形学中，点和向量是两个基本元素。我们可以通过简单的向量运算来进行几何计算。

• 向量加法：若有向量 $\mathbf{A} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $\mathbf{B} = (x_2, y_2, z_2)$，则其和为
  $$
  \mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)
  $$

• 点积：点积用于计算两个向量之间的夹角。若 $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$ 表示点积，则
  $$
  \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2
  $$

2. 线段与多边形的运算

在图形生成中，经常需要对线段和多边形进行操作。例如，计算多边形的面积和周长。

• 多边形面积：对于一个简单的多边形，其面积可以使用著名的“谢尔宾公式”计算，公式为
  $$
  A = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n}(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i) \right|
  $$
  其中 $(x_{n+1}, y_{n+1})$ 被定义为 $(x_1, y_1)$。

3. 变换

几何变换是图形学中的重要内容，用于对象的平移、旋转和缩放。常见的变换包括：

• 平移矩阵：
  $$
  T = \begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0 & tx \
  0 & 1 & 0 & ty \
  0 & 0 & 1 & tz \
  0 & 0 & 0 & 1
  \end{pmatrix}
  $$

• 旋转矩阵：以$\theta$为旋转角，在z轴上的旋转矩阵为：
  $$
  R_z(\theta) = \begin{pmatrix}
  \cos \theta & -\sin \theta & 0 & 0 \
  \sin \theta & \cos \theta & 0 & 0 \
  0 & 0 & 1 & 0 \
  0 & 0 & 0 & 1
  \end{pmatrix}
  $$

示例代码

下面，我们用Python实现一个简单的多边形面积计算：

def polygon_area(vertices):
    n = len(vertices)
    area = 0.0
    for i in range(n):
        j = (i + 1) % n
        area += vertices[i][0] * vertices[j][1]
        area -= vertices[j][0] * vertices[i][1]
    area = abs(area) / 2.0
    return area

# 示例
vertices = [(0, 0), (4, 0), (4, 3), (0, 4)]
print("多边形的面积:", polygon_area(vertices))

碰撞检测算法

在计算机图形学中，避免物体之间的干扰是游戏和模拟中至关重要的。碰撞检测算法用于检测两物体是否相交。

1. AABB（轴对齐包围盒）

一种基本的碰撞检测方法是使用轴对齐的包围盒（AABB），其方法是根据物体的边界框进行简单的重叠测试。

• 检测算法：给定两个AABB，若：
  $$
  \text{not} (A_{min.x} > B_{max.x} \text{ or } A_{max.x} < B_{min.x} \text{ or }
  A_{min.y} > B_{max.y} \text{ or } A_{max.y} < B_{min.y})
  $$
  则两个物体相交。

2. 圆形碰撞检测

对于圆形对象，检测两个圆形是否相交可以简化为比较其中心间距与半径和的关系。

示例代码

以下是AABB碰撞检测的简单实现：

def AABB_collision(A, B):
    return not (A[0][0] > B[1][0] or A[1][0] < B[0][0] or
                A[0][1] > B[1][1] or A[1][1] < B[0][1])

# 示例
A = [(1, 1), (3, 3)]
B = [(2, 2), (4, 4)]

print("AABB碰撞检测:", AABB_collision(A, B))

曲线与曲面绘制

在图形学中，曲线和曲面的表示成为了模型的核心部分。Bezier曲线和B样条曲线经常用于平滑形状的绘制。

1. Bezier曲线

Bezier曲线是通过一组控制点定义的，曲线的计算基于Bernstein多项式：
$$
B(t) = \sum_{i=0}^{n} P_i \cdot b_{i,n}(t)
$$
其中，$b_{i,n}(t)$ 是Bernstein基函数。

2. 曲面绘制

使用NURBS（非均匀有理B样条）可以创建复杂的几何体。NURBS允许更多的控制，广泛用于工业设计和动画。

结语

几何算法在计算机图形学中是基础且极为重要的。从基本的点和向量运算到复杂的曲线和碰撞检测算法，这些工具构成了现代图形引擎的