7 动态规划的基本思想和框架

在强化学习中，动态规划（Dynamic Programming, DP）是解决优化问题的重要方法。它为我们提供了一种系统的方法来处理具有阶段性决策的问题。在上一篇文章中，我们介绍了马尔可夫决策过程（MDP）中的折扣因子和价值函数，这些概念是理解动态规划的基础。在本篇中，我们将探讨动态规划的基本思想和框架，为后续的值迭代算法奠定基础。

动态规划的基本思想

动态规划的核心思想是“递归分解”。针对某个复杂问题，动态规划将其划分为多个子问题，解决这些子问题后再合并结果，从而获得原问题的解。这种方法特别适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

• 重叠子问题：子问题多次出现，通过保存已经解决的子问题的结果，可以避免重复计算，提高效率。
• 最优子结构：一个问题的最优解包含了其子问题的最优解。

动态规划主要用于寻找在某种意义上最优的解决方案，通常涉及用了某种评价标准来进行优化，比如最小化成本，最大化收益等。

案例分析：最短路径问题

考虑一个简单的最短路径问题，假设我们有一个加权有向图，其中每个边都有一个非负的权重。我们的目标是找到从起点到终点的最短路径。

1. 子问题定义：设cost(s, t)为从节点s到节点t的最短路径成本。对于每一个节点s，我们需要计算cost(s, t)。

2. 递归关系：对于节点s到t的路径，如果我们中途选择经过节点u，那么可以表示为：
   $$
   cost(s, t) = \min_u (cost(s, u) + cost(u, t))
   $$
   这个式子表明，从s到t的最短路径成本是通过某个中间节点u的路径成本的最小值。

3. 边界条件：若cost(s, s) = 0（从一个点到自身不需要成本），如果节点之间没有连接，则cost(s, t) = \infty。

动态规划的框架

在解决动态规划问题时，我们通常遵循以下步骤：

1. 定义问题：明确需要解决的问题以及目标。
2. 划分子问题：将原问题分解为多个更小的子问题。
3. 建立递推关系：找出子问题之间的关系，通常使用递归公式。
4. 计算顺序：根据递推关系，以合适的顺序计算所有子问题的解，确保每个子问题在需要使用之前都已解决。
5. 构造最终解：根据子问题的结果构造出原问题的解。

动态规划的实现

以下是用 Python 实现的一个简化的动态规划算法，通过实例找出从起点到终点的最短路径。

import numpy as np

def shortest_path(graph, start, end):
    num_nodes = len(graph)
    # 初始化成本矩阵
    cost = np.full((num_nodes, num_nodes), np.inf)
    
    # 从自身到自身的成本为0
    for i in range(num_nodes):
        cost[i][i] = 0
    
    # 填充邻接矩阵
    for u in range(num_nodes):
        for v, weight in graph[u].items():
            cost[u][v] = weight

    # 动态规划计算最短路径成本
    for k in range(num_nodes):
        for i in range(num_nodes):
            for j in range(num_nodes):
                # 更新成本
                if cost[i][j] > cost[i][k] + cost[k][j]:
                    cost[i][j] = cost[i][k] + cost[k][j]

    # 返回从 start 到 end 的最短路径
    return cost[start][end]

# 示例图：邻接矩阵表示
# graph[u] = {v: weight} 表示从 u 到 v 的边权重
graph = [
    {1: 1, 2: 4},
    {2: 2, 3: 6},
    {3: 1},
    {}
]

start_node = 0
end_node = 3
result = shortest_path(graph, start_node, end_node)
print(f"从节点 {start_node} 到节点 {end_node} 的最短路径成本是: {result}")

小结

动态规划为解决复杂的优化问题提供了一种有效的方法。通过系统地分解问题，建立递推关系，我们能够在合理的时间内找到最优解。接下来，我们将介绍动态规划中特别重要的一个算法——值迭代算法，它在基于动态规划的学习中起着重要作用。

如果你对动态规划的基本思想和框架有更深入的理解，将为后续学习值迭代算法做好准备。