11 计算期望值与方差之期望值

在上一篇中，我们探讨了几何分布及其应用。现在，我们将进一步深入了解在不同情境下如何计算期望值和方差，特别是方差的期望值。这一部分的内容对于理解随机变量行为及其随时间变化的特性至关重要。

期望值的定义

在概率论中，期望值（或称为均值）表示一个随机变量在多次试验中取值的加权平均。对于离散随机变量，其期望值的计算公式如下：

$$
E[X] = \sum_{i} x_i P(X = x_i)
$$

对于连续随机变量，期望值的计算则为：

$$
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$$

其中，$f(x)$为概率密度函数。

方差与期望值的关系

方差用于衡量随机变量取值的分散程度。其定义为：

$$
Var(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2
$$

根据上述公式可以看出，方差与期望值紧密相关。

计算期望值与方差

1. 示例：掷骰子

假设我们有一个公平的六面骰子，期望值和方差的计算如下：

• 随机变量$X$表示骰子上显示的点数，其可能取值为$1, 2, 3, 4, 5, 6$，每个发生的概率为$\frac{1}{6}$。

期望值计算

使用期望值的公式：

$$
E[X] = \sum_{i=1}^{6} i \cdot P(X = i) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}
$$

经过计算，得到：

$$
E[X] = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5
$$

方差计算

接着，我们计算方差：

1. 首先计算$E[X^2]$：

$$
E[X^2] = \sum_{i=1}^{6} i^2 \cdot P(X = i) = \frac{1}{6} (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2) = \frac{1}{6} (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = \frac{91}{6}
$$

2. 然后根据方差的公式计算：

$$
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{91}{6} - (3.5)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{364 - 294}{24} = \frac{70}{24} \approx 2.917
$$

2. 期望值的期望值

在期望值的期望值问题中，我们通常关注的是如何在不同的条件下计算期望值。例如，设$Y = E[X \mid Z]$代表在随机变量$Z$的条件下$X$的期望值。我们也可以通过下面的公式来处理该问题：

$$
E[E[X \mid Z]] = E[X]
$$

这种计算对于具有条件依赖关系的随机变量极其重要，也常用于贝叶斯统计中。

示例代码：Python计算

我们可以使用Python进行以上计算，代码如下：

import numpy as np

# 投掷骰子的点数
point_values = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
probabilities = np.array([1/6] * 6)

# 计算期望值
E_X = np.sum(point_values * probabilities)
print(f"期望值 E[X]: {E_X}")

# 计算 E[X^2]
E_X2 = np.sum(point_values**2 * probabilities)

# 计算方差
Var_X = E_X2 - E_X**2
print(f"方差 Var(X): {Var_X}")

结论

在这一部分中，我们了解了如何计算随机变量的期望值及方差，特别是如何利用期望值来推导方差的性质。通过不断探索和计算不同案例，我们能够更好地理解随机变量的分布特性和行为。下一篇我们将深入探讨方差的性质，期待与你继续探索概率论的奥秘！