18 从贝叶斯理论到应用实践

在上篇中，我们讨论了贝叶斯理论中的贝叶斯更新以及先验、后验分布，这为我们接下来的数据分析提供了一个统计学的基础。在这一篇中，我们将通过实际案例来展示如何运用这些理论，进行有效的数据分析和解释结果。

案例背景

假设我们是一家在线零售公司，对顾客的购买行为非常关注。为了提高转化率，我们决定开展一项针对新产品的市场调研。我们采取了一种贝叶斯方法来评估不同广告方式对顾客购买决策的影响。

数据收集

首先，我们通过在线调查收集了一些数据，调查对象分为两组：

• 组A：使用传统广告（如电视、报纸）
• 组B：使用数字广告（如社交媒体、搜索引擎）

每组的样本大小为100人，分别记录他们的购买决策（是/否）。

结果汇总

组别	购买人数	未购买人数	总人数
A	30	70	100
B	50	50	100

通过这一数据，我们可以利用贝叶斯更新来计算这一实验的有效性。

贝叶斯更新

我们设定先验分布为Beta分布，$\text{Beta}(1, 1)$，表示我们在没有任何数据时并没有特别的偏好。

计算后验分布

对于每组的后验分布可以使用以下公式进行更新：

1. 对于组A：

   • 购买人数为30，未购买人数为70
   • 后验分布为 $\text{Beta}(30 + 1, 70 + 1) = \text{Beta}(31, 71)$

2. 对于组B：

   • 购买人数为50，未购买人数为50
   • 后验分布为 $\text{Beta}(50 + 1, 50 + 1) = \text{Beta}(51, 51)$

可视化后验分布

我们可以使用Python的Matplotlib进行后验分布的可视化：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import beta

# 定义beta分布
x = np.linspace(0, 1, 100)
a_A, b_A = 31, 71
a_B, b_B = 51, 51

# 计算概率密度
y_A = beta.pdf(x, a_A, b_A)
y_B = beta.pdf(x, a_B, b_B)

# 绘图
plt.plot(x, y_A, label='组A 后验分布 (Beta(31, 71))')
plt.plot(x, y_B, label='组B 后验分布 (Beta(51, 51))')
plt.title('后验分布比较')
plt.xlabel('购买转化率')
plt.ylabel('概率密度')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

解读结果

根据后验分布，我们可以比较两组在购买转化率上的“信念”。通过后验分布的峰值和分布范围，可以看出组B的广告方式更有可能导致顾客的购买。

结论

通过贝叶斯更新，我们不仅能获得对广告效果的直观理解，还能利用后验分布为市场决策提供数据支持。接下来，我们将进一步探讨如何对模型进行评估与选择，以验证这种数据分析方法和结果。

在后面的章节中，我们将专注于如何对模型的准确性和精度进行衡量，进而优化我们的广告策略。