12 方差的性质

在上一篇中，我们讨论了期望值与方差之期望值的计算，这为我们理解随机变量的分布特性奠定了基础。在本篇教程中，我们将聚焦于方差的性质，以及如何利用这些性质来分析随机变量的行为。方差作为衡量随机变量分散程度的一个重要参数，其本身的性质是理解更复杂统计概念的基础。

1. 方差的定义

方差（Variance）是度量随机变量取值的离散程度的一项统计量。对于一个随机变量 $X$，其方差定义为：

$$
\text{Var}(X) = E[(X - E[X])^2]
$$

这里，$E[X]$ 是随机变量 $X$ 的期望值（均值）。

2. 方差的基本性质

方差有一些重要的性质，我们将逐一介绍。

2.1 非负性

方差总是非负的，即：

$$
\text{Var}(X) \geq 0
$$

这意味着随机变量的取值总是围绕其期望值波动，波动的大小不会为负。这是因为方差是平方的形式，任何数的平方都是非负的。

2.2 方差与常数的关系

如果对随机变量 $X$ 加一个常数 $c$，则新随机变量 $Y = X + c$ 的方差与 $X$ 的方差相同，即：

$$
\text{Var}(Y) = \text{Var}(X)
$$

这个性质指出，加常数不会改变随机变量的离散程度。

案例

假设一个随机变量 $X$，其取值为 {1, 2, 3}，期望值 $E[X] = 2$。如果我们令 $Y = X + 1$，则 $Y$ 的取值为 {2, 3, 4}，其期望 $E[Y] = 3$。计算方差：

• 对于 $X$:

  • $\text{Var}(X) = E[(X - 2)^2] = \frac{1}{3}[(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2] = \frac{1}{3}(1 + 0 + 1) = \frac{2}{3}$

• 对于 $Y$:

  • $\text{Var}(Y) = E[(Y - 3)^2] = \frac{1}{3}[(2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2] = \frac{1}{3}(1 + 0 + 1) = \frac{2}{3}$

可以看出，$\text{Var}(Y) = \text{Var}(X)$。

2.3 方差的加法性质

对于两个独立随机变量 $X$ 和 $Y$，它们的方差的和为其和的方差，即：

$$
\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)
$$

这意味着如果我们有多个独立的随机变量，求和之后的方差等于各方差的简单相加。

案例

设 $X$ 和 $Y$ 为两独立的随机变量，其中：

• $\text{Var}(X) = 1$
• $\text{Var}(Y) = 4$

那么，计算 $Z = X + Y$ 的方差：

$$
\text{Var}(Z) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) = 1 + 4 = 5
$$

2.4 方差与线性变换的关系

对于一个随机变量 $X$ 和常数 $a, b$，存在线性变换 $Y = aX + b$ 带来的方差变化：

$$
\text{Var}(Y) = a^2 \cdot \text{Var}(X)
$$

这意味着在进行线性变换时，方差会被放大或缩小，但常数 $b$ 不会对方差产生影响。

示例代码

下面是一个使用Python的示例，演示方差与线性变换的关系：

import numpy as np

# 定义随机变量X
X = np.array([1, 2, 3])
mu_X = np.mean(X)
var_X = np.var(X)

# 进行线性变换Y = 2X + 3
a = 2
b = 3
Y = a * X + b
var_Y = np.var(Y)

print(f"X的方差: {var_X:.2f}")
print(f"经过线性变换后的Y的方差: {var_Y:.2f} (应为 {a**2} * {var_X:.2f})")

2.5 方差的平方根：标准差

标准差（Standard Deviation）是方差的平方根，通常用符号 $\sigma$ 表示，它直观地表示数据的离散程度：

$$
\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}
$$

标准差与方差之间的关系使得我们能够更易于理解随机变量的行为，因为它与原始单位相同。

3. 小结

在这一篇中，我们详细探讨了方差的特性，包括非负性、与常数的关系、加法性质、线性变换下的行为以及与标准差的关系。这些性质在随机变量的分析与应用中提供了基础。在下篇文章中，我们将探讨方差的另一个重要相关性——协方差与相关性，帮助我们更深入理解多维随机变量之间的关系。希望你在后续学习中能将这些方差的性质运用自如！