9 常见概率分布之泊松分布

在前一篇中，我们学习了正态分布，它在自然界和社会科学中广泛存在，尤其适合描述大量独立随机变量的和。而在本篇中，我们将探讨泊松分布，这是一种离散概率分布，尤其适用于描述单位时间内某事件的发生次数。

泊松分布的定义

泊松分布主要用来描述在固定的时间段或空间区域内，某个事件发生的次数。设定一个固定的时间间隔或区域，若在其内某个事件发生的平均次数为 $\lambda$，那么该事件在给定的时间段内发生次数 $k$ 的概率由以下公式给出：

$$
P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
$$

其中，$e$ 是自然对数的底数，约等于 2.71828，$k!$ 是 $k$ 的阶乘。

泊松分布的特性

1. 参数：泊松分布仅由一个参数 $\lambda$ 描述，代表单位时间或单位面积内事件发生的平均次数。
2. 无记忆性：泊松过程具有无记忆性，表示未来发生的事件只与当前状态有关，与过去事件无关。
3. 事件独立性：在泊松分布中，事件的发生是独立的，即一个事件的发生不影响另一个事件的发生。

应用场景

泊松分布广泛应用于各个领域，例如：

• 电话呼入：一家呼叫中心在一小时内接到电话的频率。
• 事故发生：车辆在某个路口的事故发生次数。
• 顾客到达：超市在一段时间内进入的顾客数量。

案例分析：电话呼入

假设一家呼叫中心在高峰期一小时内，平均接到电话的次数为 $\lambda = 30$。我们想知道在这一小时内，恰好接到 25 通电话的概率。

根据泊松分布公式，我们可以计算：

$$
P(X = 25) = \frac{30^{25} e^{-30}}{25!}
$$

在 Python 代码中，我们可以用 scipy 库来计算这个概率：

import scipy.stats as stats

lambda_value = 30
k_value = 25

# 计算泊松概率
probability = stats.poisson.pmf(k_value, lambda_value)
print(f"接到恰好 {k_value} 通电话的概率: {probability:.4f}")

运行结果

运行上述代码将输出接到恰好 25 通电话的概率，帮助决策者更好地理解在高峰时期的参与情况。

总结

在本篇中，我们介绍了泊松分布的定义、特性及其应用场景，尤其是通过案例说明其实际价值。泊松分布是处理离散事件时非常有用的工具，能够帮助我们应对实际问题中的随机性。

在接下来的篇幅中，我们将深入探讨几何分布，继续扩展我们的概率论知识，敬请期待！