4 计算几何基础概念之点和向量

引言

在上一篇教程中，我们探讨了计算几何的应用领域，包括计算机图形学、机器人路径规划、地理信息系统等。这些领域的许多问题都可以用基本的几何元素来描述，而这些几何元素的最基础部分就是“点”和“向量”。在本篇中，我们将深入了解这些基本概念，为后续的线段与直线讨论奠定基础。

点的概念

在计算几何中，点是最基本的元素之一。它通常被表示为一个具有位置的实体。我们可以用坐标来定义一个点。例如，在二维空间中，一个点可以用一个有序的实数对$(x, y)$来表示，其中$x$是点在水平轴上的位置，$y$是点在垂直轴上的位置。

例子

考虑一个点$P(3, 4)$，我们可以将其视为在平面上存在的一个位置。若我们有另一个点$Q(1, 2)$，我们可以想象这两个点在坐标平面上的布局，如下图所示：

y
^
|        P(3, 4)
|         *
|        |  
|        |
|        |
|--------|----------> x
|        |    
|  Q(1, 2)*         |
|        |

向量的概念

向量是具有方向和大小的数学对象。通常用来描述从一点到另一点的位移。在二维空间中，一个向量可以用有序对$(x, y)$表示，其中$x$和$y$分别表示该向量在水平方向和垂直方向上的分量。

向量的一个重要特征是它可以通过两个点来定义。例如，从点$P(3, 4)$到点$Q(1, 2)$的向量可以表示为：

$$
\vec{PQ} = Q - P = (1 - 3, 2 - 4) = (-2, -2)
$$

向量的性质

1. 加法：两个向量可以通过分量相加得到新向量。对于向量$\vec{a} = (a_1, a_2)$和$\vec{b} = (b_1, b_2)$，我们有：
   $$
   \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
   $$

2. 标量乘法：一个向量可以被一个标量（实数）乘以，得到新的向量。例如，对于向量$\vec{a} = (x, y)$和标量$k$，有：
   $$
   k \cdot \vec{a} = (k \cdot x, k \cdot y)
   $$

例子

假设我们有两个向量$\vec{A} = (2, 3)$和$\vec{B} = (1, -1)$，那么我们可以计算向量的和：

\[
\vec{A} + \vec{B} = (2 + 1, 3 - 1) = (3, 2)
\]

并且如果我们将向量$\vec{A}$乘以一个标量$3$，则可以得到：

\[
3 \cdot \vec{A} = (3 \cdot 2, 3 \cdot 3) = (6, 9)
\]

通过以上例子，我们可以看到向量在描述位移、速度及其他物理量时的重要性。

小结

在本篇中，我们介绍了计算几何中的基础概念——点和向量。点为我们提供了空间中的位置，而向量则允许我们描述位置之间的关系和变化。这些基础概念在后续的线段与直线讨论中将发挥重要作用。理解点和向量的性质以及它们之间的运算，将为我们深入掌握计算几何打下坚实的基础。

在下一篇教程中，我们将继续讨论基础概念中的线段与直线，进一步探索这些概念如何构成我们所熟知的几何形状和图形。