5 线段与直线

在上一篇教程中，我们讨论了基础概念之“点和向量”。这一部分将继续探讨计算几何中的基础概念——线段与直线。线段和直线是构建几何形状的基本元素，也是后续多边形与多面体研究的基础。

线段

定义

线段是连接两个端点的直线部分。线段的特点是具有长度和方向，但没有延续性。用数学表示，给定两个点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$，线段 $AB$ 可以定义为所有落在 $A$ 和 $B$ 之间的点的集合。

线段的性质

1. 长度：线段的长度可以通过以下公式计算：
   $$
   L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
   $$

2. 中点：线段的中点 $M$ 的坐标可以通过以下公式计算：
   $$
   M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
   $$

3. 斜率：线段的斜率 $k$ 可以表达为：
   $$
   k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
   $$
   注意，当 $x_2 = x_1$ 时，斜率是无定义的，这时线段是一条垂直线。

代码示例

我们可以通过 Python 来计算线段的长度和中点。下面的代码展示了如何实现这一点：

import math

def line_segment_properties(A, B):
    x1, y1 = A
    x2, y2 = B
    
    # 计算长度
    length = math.sqrt((x2 - x1)**2 + (y2 - y1)**2)
    
    # 计算中点
    midpoint = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)

    # 计算斜率
    slope = None
    if x2 != x1:
        slope = (y2 - y1) / (x2 - x1)

    return length, midpoint, slope

A = (3, 4)
B = (7, 1)
length, midpoint, slope = line_segment_properties(A, B)

print(f"长度: {length}, 中点: {midpoint}, 斜率: {slope}")

应用案例

在图形处理中，频繁使用线段来表示形状的边界。例如，在计算图形的包围盒时，通常会对物体的顶点之间的线段进行处理。

直线

定义

直线是一个无限延伸的线，通常是由一条线段延伸而来。直线没有起点和终点，且可以用点和斜率进行表示。我们可以用两个点A和B，来确定一条直线。

直线的方程

直线通常有两种主要表示方式：

1. 斜截式：形式为：
   $$
   y = kx + b
   $$
   其中，$k$ 是斜率，$b$ 是$y$轴截距。

2. 点斜式：通过一个点 $A(x_1, y_1)$ 及斜率 $k$ 表示为：
   $$
   y - y_1 = k(x - x_1)
   $$

斜率的特性

• 当 $k > 0$ 时，直线向上倾斜。
• 当 $k < 0$ 时，直线向下倾斜。
• $k = 0$ 表示水平线。

代码示例

下面是 Python 中计算直线方程的示例：

def line_equation(A, slope):
    x1, y1 = A
    b = y1 - slope * x1  # 根据斜截式算出截距
    return slope, b

A = (3, 4)
slope = 2  # 假设斜率为2
line_eq = line_equation(A, slope)

print(f"直线方程: y = {line_eq[0]}x + {line_eq[1]}")

应用案例

直线在几何运算中具有广泛的应用，例如在图形裁剪算法中，直线用于定义裁剪边界。

小结

在本节中，我们探讨了线段与直线的基础概念，包括它们的定义、性质、及在实际中的应用和示例代码。理解这些基本概念，为我们学习多边形与多面体的几何特性奠定了基础。下一节我们将进入多边形与多面体的讨论，期待与您再次相见！