11 积分基础之不定积分的计算

在上篇中，我们探讨了积分的基本概念，包括什么是积分、积分的几何意义和物理意义等。在本篇教程中，我们将深入研究不定积分的计算方法。不定积分是微积分中的一个基础内容，了解其计算方法是后续学习积分法则和换元法的基础。

什么是不定积分

不定积分是指对一个函数进行积分，求出所有原函数的集合。给定一个函数 $f(x)$，其不定积分通常表示为：

$$
F(x) = \int f(x) , dx
$$

这里，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，也就是说，$F’(x) = f(x)$。在不定积分中，我们通常会加上一个常数 $C$，以表示所有可能的原函数。因此，不定积分的结果通常写成：

$$
\int f(x) , dx = F(x) + C
$$

不定积分的计算方法

在计算不定积分时，我们可以使用一些基本的积分公式和技巧。下面我们将介绍一些常见的不定积分计算方法以及例子。

1. 常数倍法则

如果 $c$ 是常数，且 $f(x)$ 是可积函数，则有：

$$
\int c f(x) , dx = c \int f(x) , dx
$$

例子：

计算 $\int 4x^2 , dx$：

$$
\int 4x^2 , dx = 4 \int x^2 , dx = 4 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{4}{3} x^3 + C
$$

2. 幂函数的积分法则

对幂函数 $f(x) = x^n$（$n \neq -1$）而言，不定积分公式为：

$$
\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
$$

例子：

计算 $\int x^5 , dx$：

$$
\int x^5 , dx = \frac{x^{6}}{6} + C
$$

3. 指数函数的积分法则

对指数函数 $f(x) = e^x$，其不定积分为：

$$
\int e^x , dx = e^x + C
$$

例子：

计算 $\int e^{2x} , dx$：

使用换元法，让 $u = 2x$，则 $du = 2 , dx \Rightarrow dx = \frac{du}{2}$：

$$
\int e^{2x} , dx = \int e^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{2x} + C
$$

4. 三角函数的积分法则

对于常见的三角函数，我们有如下积分公式：

• $\int \sin(x) , dx = -\cos(x) + C$
• $\int \cos(x) , dx = \sin(x) + C$

例子：

计算 $\int \sin(x) , dx$：

$$
\int \sin(x) , dx = -\cos(x) + C
$$

不定积分的技巧

在进行不定积分计算时，熟悉一些技巧将有助于简化问题。例如：

1. 分部分积分法

分部分积分法适用于双重乘积的积分，公式为：

$$
\int u , dv = uv - \int v , du
$$

例子：

计算 $\int x e^x , dx$，设 $u = x$, $dv = e^x , dx$:

$$
du = dx, \quad v = e^x
$$

所以：

[
\int x e^x , dx = x e^x - \int e^x , dx = x e^x - e^x + C
]

2. 代换法

代换法是处理复杂函数的有力工具，适用于可以通过变量代换简化积分的情形。一般用 $u = g(x)$ 进行代换，后续的积分以 $u$ 为变量进行计算。

结论

不定积分的计算是微积分中的一项基本技能。在掌握了常见的积分法则和基本技巧后，计算不定积分将变得更为简单和高效。通过掌握不定积分，您将能够更自信地进行更复杂的积分运算，为后续的积分法则与换元法的学习打下坚实的基础。

接下来，我们将在下一篇教程中讨论基本积分法则与换元法，敬请关注！