在上一节中，我们讨论了极限的定义与性质，了解了极限如何帮助我们分析函数的行为和局部性质。在本节中，我们将进一步探讨函数的连续性和可导性，这两个概念在微积分中具有重要意义，并且为理解导数的定义及其几何意义打下基础。

1. 连续性的定义

一个函数在某点的连续性意味着该函数在该点没有“跳跃”或“间断”。具体来说，函数$f(x)$在点$x = a$处连续的条件是：

1. $f(a)$是有定义的。
2. 极限$\lim_{x \to a} f(x)$是存在的。
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。

如果上述条件都满足，我们就说函数在点$a$处连续。

案例分析

考虑函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$。如果我们直接在$x=1$代入，会得到$f(1) = \frac{0}{0}$，即未定义。因此，我们先需要化简这个函数：

$$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1 \quad (x \neq 1)$$

现在，我们可以考察$x=1$处的极限：

• 计算极限：

$$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2.$$

因此，虽然$f(1)$未定义，但我们可以看到：

• 极限存在且等于2，且该极限值与$f(x)$在$x \neq 1$的值相符。

因此，函数$f(x)$在$x=1$处并不连续，我们可以定义一个新的函数：

$$g(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{if } x \neq 1 \\ 2 & \text{if } x = 1 \end{cases}$$

在这种情况下，函数$g(x)$在$x=1$处是连续的。

2. 可导性的定义

可导性是指函数在某点的导数存在。函数$f(x)$在点$x = a$处可导的条件是：

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

如果该极限存在，那么我们就说$f(x)$在点$x=a$处可导，且导数等于上述极限的值，我们通常用$f'(a)$表示。

案例分析

考虑函数$f(x) = x^2$，我们想了解它在点$x = 1$处的导数：

1. 先计算$f(1)$：

   $$f(1) = 1^2 = 1.$$

2. 接下来，我们计算极限：

   $$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h + h^2}{h}.$$

   这可以进一步简化：

   $$f'(1) = \lim_{h \to 0} (2 + h) = 2.$$

因此，函数$f(x) = x^2$在点$x=1$处可导，且导数为2。

3. 连续性与可导性的关系

需要注意的是，可导性蕴含连续性：如果一个函数在点$a$处可导，那么它必定在该点连续。反之，连续的函数不一定可导。例如，函数$f(x)=|x|$在$x=0$处连续，但在该点不可导，因为其左右导数不相等。

总结

在本节中，我们探讨了函数的连续性和可导性，以及它们在极限中的重要性。了解这些概念有助于我们更好地掌握微积分的基础知识，为之后讨论导数的几何意义打下基础。在下一节中，我们将深入学习导数的定义及其在几何上的意义，敬请期待！