16 多变量微积分之多变量函数与偏导数

在上一节中，我们讨论了定积分及其应用，了解了如何进行基本定积分的计算，以及其在实际问题中的用途。而在本节中，我们将转向多变量微积分，重点讨论多变量函数及其偏导数。本节将为后续重积分的计算奠定基础。

多变量函数

多变量函数是指一个函数的值依赖于两个或两个以上的自变量。对于一个函数 $f(x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是自变量，可以把它看作是一个在平面上定义的函数，这样的函数可以在三维空间中表示为一张曲面。

例子

考虑多变量函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$。在这个例子中，函数的值表示的是点 $(x, y)$ 到原点 $(0, 0)$ 的距离的平方。图形上，这个函数表示了一种圆锥形曲面，其形状对称于坐标轴。

偏导数

偏导数是指多变量函数对某一个自变量的导数，其他自变量保持不变。对于函数 $f(x, y)$，我们可以分别计算其对 $x$ 和 $y$ 的偏导数，分别表示为 $f_x(x, y)$ 和 $f_y(x, y)$。

公式

偏导数的定义如下：

• 对于 $x$ 的偏导数：
  $$
  f_x(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}
  $$

• 对于 $y$ 的偏导数：
  $$
  f_y(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y}
  $$

示例计算

假设我们以函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 为例，求其偏导数。

1. 计算 $f_x(x, y)$：
   [
   f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = 2x
   ]

   这表示，在固定 $y$ 的情况下，函数对 $x$ 的变化率是 $2x$。

2. 计算 $f_y(x, y)$：
   [
   f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = 2y
   ]

   这表示，在固定 $x$ 的情况下，函数对 $y$ 的变化率是 $2y$。

物理意义

偏导数在实际应用中非常重要。例如，在热传导问题中，温度分布可以用多变量函数描述，而偏导数则帮助我们理解温度在某一特定方向上的变化率。

案例：梯度与最值

对于多变量函数，偏导数不仅可以用来描述函数值的变化率，还可以用来找到函数的最值。此时，我们使用梯度的概念。

梯度向量定义为 $\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$。梯度的方向表示函数增加最快的方向，而梯度的大小表示该方向上的变化率。

最值判定的例子

考虑函数 $f(x, y) = -x^2 - y^2 + 4$，我们先计算偏导数并找到临界点：

1. 求偏导数：
   [
   f_x(x, y) = -2x, \quad f_y(x, y) = -2y
   ]

2. 设置偏导数为零：
   [
   -2x = 0 \Rightarrow x = 0,
   \quad -2y = 0 \Rightarrow y = 0
   ]
   这给我们一个临界点 $(0, 0)$。

3. 使用二阶偏导数检验法或 Hessian 矩阵判定该点的性质。

结果表明 $(0, 0)$ 是一个局部最大值，并且函数最大值为 $4$。

Python 实现

可以使用 Python 进行数值计算，例如利用 sympy库来求偏导数：

import sympy as sp

# 定义变量
x, y = sp.symbols('x y')

# 定义函数
f = x**2 + y**2

# 计算偏导数
f_x = sp.diff(f, x)
f_y = sp.diff(f, y)

print(f'偏导数对 x: {f_x}')
print(f'偏导数对 y: {f_y}')

运行该代码后可以得到偏导数的输出，进一步进行分析。

小结

在本节中，我们探讨了多变量函数与偏导数。我们学习了如何定义和计算多变量函数的偏导数，并了解它们在实际应用中的重要性。掌握这些概念将为我们进入下一节的重积分计算做好准备。在下一节中，我们将更加深入地了解重积分的计算及其应用。