17 多变量微积分之重积分的计算

在上一篇中，我们探讨了多变量函数及其偏导数，这为理解重积分的计算奠定了基础。重积分是多变量微积分中的一个重要概念，它用于计算多维空间中某个区域的“体积”或是“总量”。在本篇文章中，我们将详细介绍重积分的概念及其计算方法，并结合实际案例，让你更好地理解。

重积分的基本概念

重积分是对多变量函数在某个区域上进行积分的过程。具体来说，设有一个函数 $f(x, y)$，我们希望计算在区域 $D$ 上的重积分：

$$
\iint_D f(x, y) , dx , dy
$$

这个表达式的含义是对区域 $D$ 内的所有点 $(x, y)$ 进行求和，以得到一个整体的“体积”或“总量”。

区域 $D$ 的描述

区域 $D$ 可以是简单的矩形区域，也可以是更复杂的形状。通常情况下，我们更喜欢将区域 $D$ 划分为小矩形，并对每个小矩形上的函数值进行求和，最终求极限。这样，我们可以表示成重积分的形式。

计算重积分的步骤

计算重积分一般遵循以下步骤：

1. **确定积分区域 $D$**：明确你要计算的区域形状。
2. 选择积分顺序：通常可以选择先对 $x$ 积分再对 $y$ 积分，或相反。
3. 设定积分限：根据区域的边界条件设定积分上下限。
4. 计算内层积分：先计算内层的积分。
5. 计算外层积分：对内层积分的结果进行外层积分计算。

在这部分，我们将展示一个简单的计算示例。

实际案例：计算重积分

假设我们有一个函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$，我们希望计算它在矩形区域 $D = [0, 1] \times [0, 1]$ 上的重积分。

步骤 1: 确定区域 $D$

在这里，$D$ 是笛卡尔坐标系中的一个单位正方形，范围是 $0 \leq x \leq 1$ 和 $0 \leq y \leq 1$。

步骤 2: 选择积分顺序

我们选择先对 $x$ 积分后对 $y$ 积分。

步骤 3: 设定积分限

因此，重积分可以表示为：

$$
\iint_D f(x, y) , dx , dy = \int_0^1 \int_0^1 (x^2 + y^2) , dx , dy
$$

步骤 4: 计算内层积分

我们先计算内层积分：

$$
\int_0^1 (x^2 + y^2) , dx = \int_0^1 x^2 , dx + \int_0^1 y^2 , dx
$$

计算第一个部分：

$$
\int_0^1 x^2 , dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}
$$

由于 $y^2$ 对 $x$ 是常数，因此：

$$
\int_0^1 y^2 , dx = y^2 \cdot \int_0^1 1 , dx = y^2
$$

因此，内层积分的结果为：

$$
\int_0^1 (x^2 + y^2) , dx = \frac{1}{3} + y^2
$$

步骤 5: 计算外层积分

将内层积分的结果代入外层积分中：

$$
\int_0^1 \left( \frac{1}{3} + y^2 \right) , dy = \int_0^1 \frac{1}{3} , dy + \int_0^1 y^2 , dy
$$

计算第一个部分：

$$
\int_0^1 \frac{1}{3} , dy = \frac{1}{3} \cdot \left[ y \right]_0^1 = \frac{1}{3}
$$

计算第二个部分：

$$
\int_0^1 y^2 , dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}
$$

因此：

$$
\int_0^1 \left( \frac{1}{3} + y^2 \right) , dy = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
$$

最后，得到重积分的结果为：

$$
\iint_D f(x, y) , dx , dy = \frac{2}{3}
$$

Python 代码实现

我们可以使用 Python 的 scipy 库中的 dblquad() 函数来计算这个重积分。以下是相应的代码：

from scipy.integrate import dblquad

# 定义要积分的函数
def integrand(x, y):
    return x**2 + y**2

# 定义积分的上下限
x_lower = 0
x_upper = 1
y_lower = 0
y_upper = 1

# 计算重积分
result, error = dblquad(integrand, x_lower, x_upper, lambda x: y_lower, lambda x: y_upper)

print(f"重积分结果为: {result:.2f}, 误差估计: {error:.2e}")

运行这段代码，我们将得到重积分的结果，验证我们之前的手动计算。

小结

在本篇文章中，我们深入探讨了重积分的概念及其计算方法，结合了实际案例，帮助大家理解多变量微积分中的重积分。接下来，我们将讨论多变量微积分中的多变量应用案例，继续扩展我们的知识面。