14 定积分与应用之积分与面积的关系

在上一篇文章中，我们探讨了定积分的定义及其基本性质。在本篇中，我们将深入理解积分与面积之间的关系，这是为后续学习更多计算与应用打下基础的重要知识。

积分与面积

定积分的一个重要应用是用来计算平面区域的面积。我们首先回顾一下定积分的基本概念：

设函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，定积分给定的含义是：

$$
\int_a^b f(x) , dx
$$

这个表达式可以被解读为在区间$[a, b]$上，f(x)曲线与$x$轴之间的“累积面积”。

1. 计算面积的例子

假设我们有一个简单的函数：

$$ f(x) = x^2 $$

我们想要计算在区间$[1, 3]$上，曲线$y = f(x)$与$x$轴之间的面积。根据定积分的定义，我们有：

$$
\text{面积} = \int_1^3 x^2 , dx
$$

要计算这个定积分，我们首先找到它的反导数：

$$
F(x) = \frac{x^3}{3}
$$

然后，根据牛顿-莱布尼茨公式，计算定积分：

$$
\int_1^3 x^2 , dx = F(3) - F(1) = \left( \frac{3^3}{3} \right) - \left( \frac{1^3}{3} \right) = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}
$$

因此，$y = x^2$在区间$[1, 3]$与$x$轴之间的面积为$\frac{26}{3}$。

2. 直观理解

为了更好地理解定积分与面积的关系，我们可以借助于图像。可以通过Python代码绘制这个函数及其定积分所代表的区域。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数
def f(x):
    return x**2

# 指定区间
a = 1
b = 3
x = np.linspace(0, 4, 100)
y = f(x)

# 绘制函数图像
plt.plot(x, y, label='$f(x) = x^2$', color='blue')
plt.fill_between(x, y, where=((x >= a) & (x <= b)), color='lightgreen', alpha=0.5)
plt.title('定积分与面积的关系')
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$f(x)$')
plt.axhline(0, color='black', lw=0.5, ls='--')
plt.axvline(0, color='black', lw=0.5, ls='--')
plt.xlim(0, 4)
plt.ylim(0, 10)
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

在这个图像中，填充的绿色区域正是我们利用定积分计算的面积。这直观的展示了曲线与$x$轴之间的关系。

3. 面积的拓展

不仅如此，定积分还可以用来计算更加复杂的图形的面积。例如，两个函数的相交区域，或者在极坐标系下曲线所围成的区域。

案例：计算两个曲线的交集区域

假设我们要计算$y = x^2$和$y = 2x$之间的面积。

首先，我们需要找到这两个曲线的交点。通过方程相等：

$$
x^2 = 2x
$$

解得交点$x = 0$和$x = 2$。因此，我们的区域在区间$[0, 2]$内。现在，我们计算在这个区间内$y = 2x$和$y = x^2$之间的面积：

$$
\text{面积} = \int_0^2 (2x - x^2) , dx
$$

计算过程与前面类似：

$$
\int_0^2 (2x - x^2) , dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) = \frac{4}{3}
$$

因此，$y = x^2$和$y = 2x$之间的面积为$\frac{4}{3}$。

总结

在本篇文章中，我们学习了定积分与面积的关系，掌握了如何通过定积分计算图形的面积。理解这个概念对于后续定积分的计算与应用是至关重要的。下一篇文章中，我们将开始探讨基本定积分的计算与应用，继续我们的学习之旅。