8 导数与微分之求导法则与基本函数的导数

在上一篇中，我们讨论了导数的定义与几何意义，理解了导数如何反映函数的变化率。接下来，我们将深入探讨求导法则和一些基本函数的导数，以便为后续的应用案例奠定基础。

一、求导法则

求导法则是帮助我们快速计算导数的一系列规则。掌握这些法则能够让我们在处理复杂的函数时更加高效。以下是一些常用的求导法则：

1. 常数法则

如果 $c$ 是一个常数，那么常数的导数为零：
$$
\frac{d}{dx}(c) = 0
$$

2. 幂法则

对于任意的实数 $n$，其导数为：
$$
\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}
$$

3. 加法法则

如果有两个可导函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，那么它们的和的导数为：
$$
\frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f’(x) + g’(x)
$$

4. 乘法法则（莱布尼茨法则）

对于两个可导函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，它们的乘积的导数为：
$$
\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)
$$

5. 除法法则

对于两个可导函数 $f(x)$ 和 $g(x)$（$g(x) \neq 0$），它们的商的导数为：
$$
\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}{g(x)^2}
$$

6. 链式法则

对于复合函数 $y = f(g(x))$，其导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = f’(g(x)) \cdot g’(x)
$$

二、基本函数的导数

了解了求导法则后，我们需要掌握一些基本函数的导数，以便在实际运用中能够迅速进行求导。

1. 指数函数

对于自然指数函数 $e^x$，其导数为：
$$
\frac{d}{dx}(e^x) = e^x
$$

对于一般的指数函数 $a^x$ (其中 $a > 0$)，其导数为：
$$
\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln(a)
$$

2. 对数函数

自然对数函数的导数为：
$$
\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x} \quad (x > 0)
$$
对于以 $a$ 为底的对数：
$$
\frac{d}{dx}(\log_a(x)) = \frac{1}{x \ln(a)} \quad (x > 0)
$$

3. 三角函数

对于基本三角函数，它们的导数如下：

• $\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$
• $\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$
• $\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x)$

4. 反三角函数

• $\frac{d}{dx}(\arcsin(x)) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (-1 < x < 1)$
• $\frac{d}{dx}(\arccos(x)) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (-1 < x < 1)$
• $\frac{d}{dx}(\arctan(x)) = \frac{1}{1+x^2}$

三、案例

让我们通过一个简单的案例来应用这些法则和函数的导数。

假设我们有一个函数：
$$
f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7
$$

我们利用加法法则和幂法则来求导：

1. 对每一项分别求导：

   • $3x^3$ 的导数是 $9x^2$
   • $-5x^2$ 的导数是 $-10x$
   • $2x$ 的导数是 $2$
   • 常数 $-7$ 的导数是 $0$

2. 最终结果为：
   $$
   f’(x) = 9x^2 - 10x + 2
   $$

我们可以通过 Python 代码来验证：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 3*x**3 - 5*x**2 + 2*x - 7
f_prime = sp.diff(f, x)
f_prime

运行上述代码，将输出导数 $f’(x) = 9x^2 - 10x + 2$。

四、小结

在这一节中，我们学习了求导法则和一些基本函数的导数。这些基本知识将为我们在下篇中讨论切线与变化率的应用做好充分准备。带着这些工具和法则，我们可以轻松解决更复杂的问题。接下来，我们将探讨导数的实际应用。