15 定积分与应用之基本定积分的计算与应用

在上一篇中，我们探讨了定积分与面积之间的关系，了解到定积分可以用于计算曲线下方的面积。在本篇中，我们将进一步深入基本定积分的计算与应用，以帮助我们更好地理解定积分在实际问题中的重要性。

1. 基本定积分的定义

定积分是对一个函数在某个区间内的累积量的计算。给定一个在闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数 $f(x)$，其定积分定义为：

$$
\int_a^b f(x) , dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x
$$

其中，$\Delta x = \frac{b-a}{n}$，$x_i^*$ 是区间内的任意点。

2. 基本定积分的计算

在这部分中，我们将通过一些例子来计算基本的定积分。

例1：计算 $\int_0^1 x^2 , dx$

我们来计算函数 $f(x) = x^2$ 在区间 $[0, 1]$ 上的定积分：

$$
\int_0^1 x^2 , dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}
$$

结果是 $\frac{1}{3}$，这表示在区间 $[0, 1]$ 上，$y = x^2$ 曲线与 $x$ 轴之间的面积为 $\frac{1}{3}$。

例2：计算 $\int_1^2 (3x^2 - 4) , dx$

对于这个例子，我们要计算函数 $f(x) = 3x^2 - 4$ 在区间 $[1, 2]$ 上的定积分：

$$
\int_1^2 (3x^2 - 4) , dx = \left[ x^3 - 4x \right]_1^2
$$

计算得：

$$
= (2^3 - 4 \cdot 2) - (1^3 - 4 \cdot 1) = (8 - 8) - (1 - 4) = 0 + 3 = 3
$$

结果是 $3$，这表示在区间 $[1, 2]$ 上，$y = 3x^2 - 4$ 曲线与 $x$ 轴之间的面积为 $3$。

3. 定积分的应用

定积分不仅仅是求面积的工具，在物理学、工程学及其他学科中也有广泛应用。例如：

例3：计算物体在时间 $t$ 内的位移

假设一个物体的速度由函数 $v(t) = 4t^2$ 描述，我们想要在区间 $[0, 3]$ 内计算它的位移。

位移可以通过速度的定积分来得到：

$$
\text{位移} = \int_0^3 v(t) , dt = \int_0^3 4t^2 , dt
$$

计算得：

$$
= \left[ \frac{4t^3}{3} \right]_0^3 = \frac{4 \cdot 3^3}{3} - 0 = \frac{4 \cdot 27}{3} = 36
$$

因此，物体在时间 $[0, 3]$ 内的位移为 $36$。

例4：利用定积分计算不规则形状的面积

我们还可以利用定积分计算不规则形状的面积。例如，我们想计算在区间 $[0, 1]$ 上，$y = \sqrt{x}$ 及 $y = 0$ 之间的面积。

我们可以设置：

$$
\text{面积} = \int_0^1 \sqrt{x} , dx
$$

计算得：

$$
= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3} (1 - 0) = \frac{2}{3}
$$

这表示该区域的面积是 $\frac{2}{3}$。

4. 小结

在这一篇文章中，我们学习了基本定积分的计算方法，并且通过实际案例展示了定积分在各种情境下的应用。定积分不仅可以用来计算面积，还可以应用于物理、工程等多个领域，帮助我们解决实际问题。

在下一篇文章中，我们将介绍多变量微积分中的多变量函数与偏导数，希望大家能够继续关注并深入学习这一重要内容。