5 函数与极限之极限的定义与性质

在上一篇中，我们探讨了函数与极限的基本概念和表示方法。本篇将深入讨论“极限”的定义与性质，这对于理解后续的“连续性与可导性”将起到基础作用。

极限的定义

极限是微积分中的一个核心概念，通常用于描述函数在某一点附近的行为。具体来说，当我们说函数$f(x)$在点$c$的极限是$L$时，意味着当$x$逐渐逼近$c$时，$f(x)$的值将趋近于$L$。形式化地，我们可以写作：

$$
\lim_{x \to c} f(x) = L
$$

这表示无论$x$接近$c$的方式如何，$f(x)$都会无限接近$L$。

$\epsilon-\delta$定义

极限的一个严格的数学定义是使用$\epsilon$（epsilon）和$\delta$（delta）符号来表示的。具体来说，$f(x)$的极限$L$在$x$趋向于$c$时，可以用以下形式定义：

对于任何给定的正数$\epsilon > 0$，都存在一个正数$\delta > 0$，使得当$x$满足$0 < |x - c| < \delta$时，$|f(x) - L| < \epsilon$。

这种定义能够确保，我们对极限的理解足够精确。

案例分析

考虑函数$f(x) = 2x$，我们想要计算其在$x = 3$时的极限：

$$
\lim_{x \to 3} f(x)
$$

根据函数的定义，当$x$接近3时，$f(x)$的值趋近于6。这可以通过$\epsilon-\delta$定义来验证：

1. 设定$\epsilon = 0.1$，我们需要找到$\delta > 0$，使得$|f(x) - 6| < 0.1$。
2. 我们知道$f(x) = 2x$，因此：
   $$
   |2x - 6| < 0.1 \implies |x - 3| < 0.05
   $$
3. 由此我们可以取$\delta = 0.05$。

这说明当$x$在$(2.95, 3.05)$区间时，$f(x)$的值在$(5.9, 6.1)$之间，完美满足了极限的要求。

极限的性质

极限具有许多重要的性质，这些性质为我们后续的微分和积分提供了基础。以下是一些主要的极限性质：

1. 极限的线性性质

如果$\lim_{x \to c} f(x) = L$，且$\lim_{x \to c} g(x) = M$，那么：

• 线性组合：
  $$
  \lim_{x \to c} (af(x) + bg(x)) = aL + bM
  $$
  其中$a$和$b$是常数。

2. 极限的乘法性质

如果$f(x)$和$g(x)$都有极限，那么它们的乘积也有极限：

$$
\lim_{x \to c} (f(x)g(x)) = LM
$$

3. 极限的商法则

如果$\lim_{x \to c} g(x) \neq 0$，并且$f(x)$和$g(x)$都有极限，那么：

$$
\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}
$$

应用示例

考虑以下极限计算：

$$
\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}
$$

直接代入会导致分母为0，因此我们可以利用因式分解：

1. 提取公因式:
   $$
   \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}, \text{当} x \neq 2 \text{时}
   $$

2. 简化得到：
   $$
   x + 2
   $$

3. 于是，
   $$
   \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4
   $$

通过以上的步骤，我们发现极限存在，并且值为4。

小结

本篇文章中，我们详细讨论了极限的定义，性质以及一些代表性的实例。这些知识将为我们理解函数的连续性和可导性奠定基础。在下一篇中，我们将继续探讨函数的连续性与可导性，了解极限是如何在这些概念中发挥重要作用的。希望这些内容对您理解微积分有所帮助。