13 定积分与应用之定积分的定义及性质

在上一篇中，我们学习了积分基础，包括基本积分法则与换元法。今天我们将深入探讨“定积分”的概念、定义及其性质。这一部分对理解定积分在实际中的应用至关重要，为即将到来的“定积分与应用之积分与面积的关系”做一个良好的铺垫。

定积分的定义

定积分可以理解为对某一函数在给定区间上的“累计”值。我们将通常用符号 $F(x)=\int_a^b f(x) , dx$ 表示函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分。

形式化定义

定积分的正式定义依赖于“黎曼和”（Riemann sum）。对于区间 $[a, b]$，我们将其划分为 $n$ 个小区间，每个小区间的长度为 $\Delta x_i = x_{i} - x_{i-1}$，其中 $x_0 = a$，$x_n = b$。选择每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上的一个点 $c_i$，则黎曼和为：

$$
S_n = \sum_{i=1}^{n} f(c_i) \Delta x_i
$$

当 $n \to \infty$，即小区间的数量无限增加，长度无限减小时，黎曼和的极限即为定积分：

$$
\int_a^b f(x) , dx = \lim_{n \to \infty} S_n
$$

图形理解

从图形上理解，定积分可以看作是在区间 $[a, b]$ 上，曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴之间的“净面积”。正面积和负面积可以互相抵消，因此，在某些情况下，定积分可能会为负。

定积分的性质

定积分有几个重要的性质，这些性质对于后续的计算和应用极为关键：

1. 线性性质：
   如果 $c$ 是常数，$f(x), g(x)$ 是可积函数，则有：
   $$
   \int_a^b [cf(x) + g(x)] , dx = c \int_a^b f(x) , dx + \int_a^b g(x) , dx
   $$

2. 区间可加性：
   如果 $a < b < c$，则有：
   $$
   \int_a^c f(x) , dx = \int_a^b f(x) , dx + \int_b^c f(x) , dx
   $$

3. 反向区间：
   反向积分的性质可以表示为：
   $$
   \int_a^b f(x) , dx = -\int_b^a f(x) , dx
   $$

4. 不等式性质：
   如果 $a \leq f(x) \leq b$ 对于区间 $[c, d]$ 成立，则：
   $$
   \int_c^d a , dx \leq \int_c^d f(x) , dx \leq \int_c^d b , dx
   $$

通过这些性质，我们可以变换和简化定积分的计算。

应用案例：计算定积分

接下来，我们通过一个简单的功能示例来实际运用定积分的定义和性质。

案例：计算 $f(x) = x^2$ 在区间 $[1, 3]$ 上的定积分

我们来计算 $f(x) = x^2$ 在 $[1, 3]$ 上的定积分：

$$
\int_1^3 x^2 , dx
$$

计算步骤

1. 求原函数：
   $f(x) = x^2$ 的原函数 $F(x)$ 是：
   $$
   F(x) = \frac{x^3}{3} + C
   $$

2. 应用基本定理：
   根据牛顿-莱布尼茨公式，我们得到：
   $$
   \int_1^3 x^2 , dx = F(3) - F(1) = \left( \frac{3^3}{3} \right) - \left( \frac{1^3}{3} \right) = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}
   $$

3. 结果：
   因此，$f(x) = x^2$ 在 $[1, 3]$ 上的定积分为 $\frac{26}{3}$。

代码实现

我们也可以使用Python进行计算，代码如下：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = x**2
integral_value = sp.integrate(f, (x, 1, 3))
integral_value

运行后，输出结果为 $\frac{26}{3}$，确认了我们的计算。

结论

本文中我们探讨了定积分的定义、性质及一个具体的计算案例。这些内容为后续的“定积分与应用之积分与面积的关系”奠定了基础。在接下来的教程中，我们将进一步探讨定积分如何与几何面积相关联。通过这系列的学习，您将能够更深入地理解和应用微积分在人工智能领域中的重要性。