9 切线与变化率

在前一篇中，我们探讨了导数与微分的基本概念以及求导法则与基本函数的导数。在这一篇中，我们将深入讨论导数和微分的实际应用，特别是如何利用它们来求切线和分析变化率。

切线的概念

切线是一条与曲线在某一点相切的直线，通常用于描述曲线在某一点的局部行为。从几何角度来看，如果我们在某一点$ (a, f(a)) $上画一条切线，那么这条切线的斜率就是函数在该点的导数，记作 $ f’(a) $。

切线方程

切线方程可以通过点斜式来表述，具体形式为：

$$
y - f(a) = f’(a)(x - a)
$$

这里，$ f(a) $ 是函数在点 $ a $ 的值，$ f’(a) $ 是该点的导数。

示例：求切线方程

让我们考虑一个具体的函数 $ f(x) = x^2 $，并求其在点 $ x = 1 $ 处的切线方程。

1. 计算函数值：
   $$
   f(1) = 1^2 = 1
   $$

2. 计算导数：
   $$
   f’(x) = 2x \Rightarrow f’(1) = 2 \cdot 1 = 2
   $$

3. 写出切线方程：
   $$
   y - 1 = 2(x - 1)
   $$
   简化后得：
   $$
   y = 2x - 1
   $$

由此，我们得到了在点 $(1, 1)$ 处的切线方程为 $ y = 2x - 1 $。

变化率

变化率是指某个量相对于另一个量变化的速度。在数学上，变化率常常通过导数的形式来表述。简单的说，若我们有一个函数 $ y = f(x) $，那么在点 $ x = a $ 处的变化率就是该点的导数 $ f’(a) $。

示例：速度与变化率

考虑一个物体的运动，位移与时间的关系由函数 $ s(t) = 3t^2 + 2t $ 给出。我们要找出物体在时间 $ t = 2 $ 时的速度（变化率）。

1. 计算位移函数的导数，得到速度函数：
   $$
   v(t) = s’(t) = 6t + 2
   $$

2. 在 $ t = 2 $ 时，计算速度：
   $$
   v(2) = 6 \cdot 2 + 2 = 12 + 2 = 14
   $$

因此，物体在 $ t = 2 $ 时的速度为 14 单位/时间。

Python 实现导数与切线

我们可以利用 SymPy 库来计算导数并绘制切线。以下是一个简单的 Python 代码示例，展示了如何计算导数并绘制切线。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sp

# 定义符号变量
x = sp.symbols('x')

# 定义函数
f = x**2

# 计算导数
f_prime = sp.diff(f, x)

# 指定切线的点
a = 1
f_a = f.subs(x, a)
f_prime_a = f_prime.subs(x, a)

# 切线方程
def tangent_line(x_val):
    return f_prime_a * (x_val - a) + f_a

# 生成数据
x_vals = np.linspace(-2, 3, 100)
y_vals = [f.subs(x, val) for val in x_vals]
tangent_vals = [tangent_line(val) for val in x_vals]

# 绘制图形
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x_vals, y_vals, label='y = x^2', color='blue')
plt.plot(x_vals, tangent_vals, label='切线 y = 2x - 1', color='red', linestyle='--')
plt.scatter(a, f_a, color='green')  # 切点
plt.title('切线与函数的关系')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5, ls='--')
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5, ls='--')
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()

代码解读

• 我们使用 SymPy 库定义了一个简单的二次函数 $ f(x) = x^2 $ 并计算了它的导数。
• 然后根据指定的切点 $ a = 1 $ 计算函数值和导数值，进而得到切线方程。
• 最后，利用 matplotlib 绘制出函数曲线及其切线。

总结

在这一篇中，我们探讨了导数与微分在切线与变化率中的实际应用，学习了如何求出切线方程并分析变化率。这些概念在分析和理解函数行为中至关重要，并为后续的积分学习打下基础。在下一篇中，我们将介绍积分的基本概念和应用。