1 线性代数导论：线性代数的基本概念

线性代数是数据科学、机器学习与人工智能等领域中不可或缺的数学基础。本篇将带你领略线性代数的基本概念，并为后续内容的学习打下坚实的基础。

向量

在数学中，向量是一个有大小和方向的量。在机器学习中，向量常用于表示数据点，比如一组特征。一个 $n$ 维向量可以表示为：

\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}

例如，在处理图像时，图像的每个像素可以用一个向量表示。对于一张 $28 \times 28$ 的灰度图像，我们可以将其展开成一个 $784$ 维的向量。

向量的运算

向量之间可以进行许多操作，包括加法和数乘，例如：

向量加法: $u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ \vdots \\ u_n + v_n \end{pmatrix} $$$
数乘: $c v_1 \\ c v_2 \\ \vdots \\ c v_n \end{pmatrix} $$$

案例：图像数据的向量表示

假设我们有一幅图像，它的像素值如下所示：

[255, 0, 0]
[0, 255, 0]
[0, 0, 255]

这幅图像可以用向量 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 255 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 255 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 255 \end{pmatrix}$ 表示。在机器学习中，这样的向量化表示是进行分类或聚类等算法操作的基础。

矩阵

矩阵是一个以矩形阵列形式排列的数值集合，通常用于表示线性变换。一个 $m \times n$ 的矩阵可以表示为：

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

矩阵运算

矩阵之间可以进行的运算包括：

矩阵加法:
$a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix} $$$
矩阵乘法: $\mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$

其中，矩阵乘法的结果 $\mathbf{C}$ 的每个元素可以通过行与列的点积得到。

案例：图像变换

假设我们有以下矩阵，表示对图像的线性变换（如缩放）：

\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

如果我们对向量 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ 应用这个变换，可以得到：

\mathbf{v'} = \mathbf{M} \cdot \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \end{pmatrix}

这表示图像的每个坐标都被放大了两倍。

线性方程组

线性方程组是由两个或多个线性方程组成的方程组，它可以用矩阵表示。例如，以下线性方程组：

\begin{align*} 2x + 3y &= 8 \\ x - 4y &= -2 \end{align*}

可以用矩阵形式表示为：

\mathbf{A} \cdot \mathbf{x} = \mathbf{b}

其中， $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}$ ， $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ， $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \end{pmatrix}$ 。

通过求解这个方程组，我们可以找到 $x$ 和 $y$ 的值。这些线性方程组是机器学习中的重要工具，尤其是在回归分析等领域。

总结

线性代数中的向量、矩阵和线性方程组是理解和应用AI技术的基础。无论是数据表示、变换，还是模型的建立与求解，线性代数都处于核心地位。在下一篇中，我们将深入探讨线性代数的重要性，帮助你更好地理解其在人工智能中的应用。