3 向量与矩阵之向量的定义与表示

在线性代数的学习中，理解向量的概念是非常重要的，因为向量不仅仅是数学的抽象，对于实际问题的解决尤为关键。上篇文章中，我们探讨了线性代数的重要性，强调了它在现代人工智能及数据科学领域的广泛应用。这篇文章将深入讲解什么是向量，向量的表示方式以及其在实际应用中的实例。

向量的定义

在数学中，向量是一种具有大小和方向的量。可以用来表示多维空间中的点、速度、力等物理量。在线性代数中，向量通常表示为一个有序的数列，可以是行向量或者列向量。

简单的来说，一维向量可以用一个数值来表示，而多维向量则使用多个数值。例如：

在数学上， $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ 表示一个维度为 $n$ 的向量， $\mathbb{R}^n$ 表示所有可能的 $n$ 维实数向量的集合。

向量可以用不同的方法表示，最常见的包括：

坐标表示：在几何中，向量可以用坐标来定位，例如二维向量 $\mathbf{v} = [x, y]$ ，其中 $x$ 和 $y$ 分别是向量在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的坐标。
列向量与行向量：
- 列向量的定义：一个 $n \times 1$ 的矩阵，比如：
$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$
- 行向量的定义：一个 $1 \times n$ 的矩阵，比如：
$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}$

这样定义的向量非常适合进行矩阵运算，前面的行向量和后面的列向量相乘时，将会产生一个标量（点积）。

向量之间可以进行基本的运算，如加法和数乘。

向量加法：若有两个向量 $\mathbf{a} = [a_1, a_2]$ 和 $\mathbf{b} = [b_1, b_2]$ ，则它们的和为：
$\mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b} = [a_1 + b_1, a_2 + b_2]$
数乘：若一个标量 $k$ 乘以向量 $\mathbf{a} = [a_1, a_2]$ ，则结果为：
$\mathbf{b} = k \cdot \mathbf{a} = [k \cdot a_1, k \cdot a_2]$

在机器学习中，特征向量用于表示每个数据点。比如在分类问题中，我们可以用一个向量来表示一张图片的像素值。

假设我们有一张28x28像素的黑白图片，可以用一个一维的向量来表示。如下所示（简化为6个像素）：

import numpy as np

# 假设一张图片的像素值（0-255）
image_pixels = np.array([255, 0, 255, 128, 64, 32]).reshape(6, 1)  # 列向量
print(image_pixels)

上述代码将产生一个表示图片像素值的列向量。在训练模型时，机器学习算法会根据这些向量进行计算，从而提取特征。

向量是线性代数中重要的基本概念，它们被广泛应用于机器学习、计算机科学等多个领域。通过了解向量的定义与表示，我们为接下来的矩阵部分奠定了基础。下一篇主题将讨论矩阵的定义与表示，更深入地探讨线性代数的结构与应用。