3 向量与矩阵之向量的定义与表示

在线性代数的学习中，理解向量的概念是非常重要的，因为向量不仅仅是数学的抽象，对于实际问题的解决尤为关键。上篇文章中，我们探讨了线性代数的重要性，强调了它在现代人工智能及数据科学领域的广泛应用。这篇文章将深入讲解什么是向量，向量的表示方式以及其在实际应用中的实例。

向量的定义

在数学中，向量是一种具有大小和方向的量。可以用来表示多维空间中的点、速度、力等物理量。在线性代数中，向量通常表示为一个有序的数列，可以是行向量或者列向量。

一维与多维向量

简单的来说，一维向量可以用一个数值来表示，而多维向量则使用多个数值。例如：

• 一维向量：$ \mathbf{v} = [5] $
• 二维向量：$ \mathbf{v} = [3, 4] $
• 三维向量：$ \mathbf{v} = [1, -2, 2] $

在数学上，$ \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n $表示一个维度为$n$的向量，$\mathbb{R}^n$表示所有可能的$n$维实数向量的集合。

向量的表示

向量可以用不同的方法表示，最常见的包括：

1. 坐标表示：在几何中，向量可以用坐标来定位，例如二维向量$ \mathbf{v} = [x, y] $，其中$x$和$y$分别是向量在$x$轴和$y$轴上的坐标。

2. 列向量与行向量：

   • 列向量的定义：一个$n \times 1$的矩阵，比如：
     $$
     \mathbf{v} = \begin{bmatrix}
     x_1 \
     x_2 \
     \vdots \
     x_n
     \end{bmatrix}
     $$
   • 行向量的定义：一个$1 \times n$的矩阵，比如：
     $$
     \mathbf{v} = \begin{bmatrix}
     x_1 & x_2 & \cdots & x_n
     \end{bmatrix}
     $$

这样定义的向量非常适合进行矩阵运算，前面的行向量和后面的列向量相乘时，将会产生一个标量（点积）。

向量的运算

向量之间可以进行基本的运算，如加法和数乘。

• 向量加法：
  若有两个向量 $ \mathbf{a} = [a_1, a_2] $ 和 $ \mathbf{b} = [b_1, b_2] $，则它们的和为：
  $$
  \mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b} = [a_1 + b_1, a_2 + b_2]
  $$

• 数乘：
  若一个标量 $k$ 乘以向量 $ \mathbf{a} = [a_1, a_2] $，则结果为：
  $$
  \mathbf{b} = k \cdot \mathbf{a} = [k \cdot a_1, k \cdot a_2]
  $$

实例：向量在机器学习中的应用

在机器学习中，特征向量用于表示每个数据点。比如在分类问题中，我们可以用一个向量来表示一张图片的像素值。

假设我们有一张28x28像素的黑白图片，可以用一个一维的向量来表示。如下所示（简化为6个像素）：

import numpy as np

# 假设一张图片的像素值（0-255）
image_pixels = np.array([255, 0, 255, 128, 64, 32]).reshape(6, 1)  # 列向量
print(image_pixels)

上述代码将产生一个表示图片像素值的列向量。在训练模型时，机器学习算法会根据这些向量进行计算，从而提取特征。

小结

向量是线性代数中重要的基本概念，它们被广泛应用于机器学习、计算机科学等多个领域。通过了解向量的定义与表示，我们为接下来的矩阵部分奠定了基础。下一篇主题将讨论矩阵的定义与表示，更深入地探讨线性代数的结构与应用。