10 行列式的性质

在上一篇文章中，我们讨论了行列式的定义。这一节我们将深入探讨行列式的一些重要性质。这些性质在理解和计算行列式时非常有用，特别是在应用人工智能和机器学习时，线性代数的相关知识是不可或缺的。

1. 行列式的基本性质

以下是行列式的重要性质：

1.1 交换行列会影响行列式的符号

如果交换矩阵 $A$ 的任意两行（或两列），则行列式会改变符号。数学上可以表示为：

$\text{若 } B \text{ 是通过交换 } A \text{ 的两行得到的矩阵，则 } \det(B) = -\det(A)$

案例：

考虑矩阵

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

计算其行列式：

$\det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2$

现在我们交换第一行和第二行，得到矩阵

$B = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

计算行列式：

$\det(B) = 3 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 6 - 4 = 2$

可以看到，$\det(B) = -\det(A)$。

1.2 零行的行列式为零

如果矩阵 $A$ 的某一行（或某一列）全为零，则行列式为零。

$\text{若 } \exists i, \text{ 使得 } a_{ij} = 0 \text{ 且 } a_{ik} = 0 \text{ 对所有 } j, k, \text{ 则 } \det(A) = 0$

案例：

考虑矩阵

$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

计算行列式：

$\det(C) = 1 \cdot 0 - 2 \cdot 0 = 0$

如预期，行列式为零。

1.3 行（列）倍乘

如果将矩阵 $A$ 的某一行（或某一列）乘以一个标量 $k$，则行列式也会乘以这个标量 $k$。

$\text{若 } B \text{ 是通过将 } A \text{ 的一行乘以 } k \text{ 得到的，则 } \det(B) = k \cdot \det(A)$

案例：

设

$D = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

如果我们将第一行乘以 2 得到矩阵

$E = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

计算两者的行列式：

$\det(D) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2$

$\det(E) = 2 \cdot 4 - 4 \cdot 3 = 8 - 12 = -4$

确实，$\det(E) = 2 \cdot \det(D)$。

1.4 行（列）的加和

如果将矩阵 $A$ 的一行（或一列）加上另一行（或列）的倍数，则行列式不变。

$\text{若 } B \text{ 是通过将 } A \text{ 的一行 } a_i \text{ 加上 } k \cdot a_j \text{ 得到的，则 } \det(B) = \det(A)$

案例：

考虑前面的矩阵 $A$ 和将第一行加上 2 倍的第二行，得到矩阵

$F = \begin{pmatrix} 1 + 2 \cdot 3 & 2 + 2 \cdot 4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

计算行列式：

$\det(F) = 7 \cdot 4 - 10 \cdot 3 = 28 - 30 = -2$

可以看到，$\det(F) = \det(A)$。

2. 行列式的维度性质

2.1 矩阵维度与行列式

行列式只定义在方阵上，因此非方阵的行列式是未定义的。为此，我们需要确保，在所有提到的行列式性质中，矩阵都必须是方阵。

2.2 行列式的递归性质

对于 $n \times n$ 方阵 $A$，行列式可以通过展开成 $n$ 行的线性组合来计算。也就是说，可以通过对某一行进行展开，将问题转化为多个 $(n-1) \times (n-1)$ 方阵的行列式。例如，对于矩阵 $A$ 的第一行展开，我们可以得到：

$\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} \det(A_{1j})$

其中 $A_{1j}$ 是通过删除第 1 行和第 j 列而得到的子矩阵。

3. 小结

行列式的性质为我们提供了计算和理解线性代数中矩阵的重要工具。在下一篇文章中，我们将讨论如何具体地计算行列式。这将为后续的更复杂的操作打下基础，尤其是在线性方程组、特征值问题等许多AI算法中非常重要。希望大家在掌握这些性质的同时，能够对行列式的应用有更深入的认识！