6 矩阵运算之矩阵加法与数乘

在线性代数中，矩阵是一个重要的数学工具，经常用于数据处理和机器学习模型的构建。在前一篇中，我们讨论了向量与矩阵的运算，这为理解矩阵运算奠定了基础。本篇将重点讲解矩阵的加法与数乘，这些运算是更高阶矩阵运算的基础。

矩阵加法

矩阵加法是指将两个相同尺寸的矩阵对应元素相加。假设我们有两个矩阵 $A$ 和 $B$，它们的维度都是 $m \times n$，那么矩阵加法的定义如下：

$$
C = A + B, \quad C[i,j] = A[i,j] + B[i,j] \quad (1 \leq i \leq m, \ 1 \leq j \leq n)
$$

示例

考虑以下两个 $2 \times 2$ 矩阵：

$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \
3 & 4
\end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix}
5 & 6 \
7 & 8
\end{pmatrix}
$$

我们可以计算矩阵 $C = A + B$，对应元素相加：

$$
C = \begin{pmatrix}
1 + 5 & 2 + 6 \
3 + 7 & 4 + 8
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
6 & 8 \
10 & 12
\end{pmatrix}
$$

Python 实现

使用 NumPy 库，我们可以轻松实现矩阵加法：

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
C = A + B

print(C)

运行以上代码，输出结果为：

[[ 6  8]
 [10 12]]

矩阵数乘

矩阵数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个标量。假设矩阵 $A$ 的维度是 $m \times n$，标量为 $k$，那么矩阵数乘的定义如下：

$$
B = kA, \quad B[i,j] = k \cdot A[i,j] \quad (1 \leq i \leq m, \ 1 \leq j \leq n)
$$

示例

考虑一个标量 $k = 3$ 和矩阵 $A$：

$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \
3 & 4
\end{pmatrix}
$$

我们计算矩阵 $B = 3A$：

$$
B = 3 \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2 \
3 & 4
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3 \cdot 1 & 3 \cdot 2 \
3 \cdot 3 & 3 \cdot 4
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3 & 6 \
9 & 12
\end{pmatrix}
$$

Python 实现

继续使用 NumPy 库，可以如下实现矩阵数乘：

k = 3
B = k * A

print(B)

运行以上代码，输出结果为：

[[ 3  6]
 [ 9 12]]

定义点

• 矩阵加法和数乘遵循一些重要的性质，例如：
  • 加法的交换律：$A + B = B + A$
  • 加法的结合律：$A + (B + C) = (A + B) + C$
  • 数乘的分配律：$k(A + B) = kA + kB$

通过矩阵加法和数乘，我们可以对数据进行线性组合，这是线性代数在机器学习中应用的基础。在下一篇中，我们将讨论更复杂的矩阵运算——矩阵乘法及其性质。

小结：本节内容为理解更复杂的矩阵乘法和其他运算提供了基础。掌握矩阵加法和数乘，将为后续学习和实际应用打下良好的基础。