8 矩阵的转置与逆

在上一篇中，我们探讨了矩阵的乘法及其性质。这一篇将继续深入讨论矩阵运算，特别是矩阵的转置和逆。理解这两个概念对于后续的线性代数学习以及应用于人工智能和机器学习中的许多算法都是至关重要的。

矩阵的转置

定义

一个矩阵的转置是通过将矩阵的行和列互换来得到的新矩阵。对于一个矩阵 ( A ) ，如果 ( A ) 的大小为 ( m \times n )，则其转置 ( A^T ) 的大小为 ( n \times m )。具体来说，如果
$$
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
$$
则其转置为：
$$
A^T = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
$$

性质

1. 双重转置：$ (A^T)^T = A $。
2. 转置的和：$ (A + B)^T = A^T + B^T $。
3. 转置的乘法：$ (AB)^T = B^T A^T $。

示例

让我们看一个简单的示例，以进一步理解矩阵的转置。考虑以下矩阵：

$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \
3 & 4
\end{pmatrix}
$$

那么其转置为：

$$
A^T = \begin{pmatrix}
1 & 3 \
2 & 4
\end{pmatrix}
$$

Python 实现

在 Python 中，我们可以使用 NumPy 库轻松计算矩阵的转置。下面是一个简单的示例：

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
A_transpose = A.T

print("原矩阵 A:\n", A)
print("转置矩阵 A^T:\n", A_transpose)

矩阵的逆

定义

一个可逆矩阵（或称为非奇异矩阵）是指一个方阵 ( A ) 存在一个矩阵 ( B )，使得 ( AB = BA = I )，其中 ( I ) 是单位矩阵。在这种情况下，我们称 ( B ) 为 ( A ) 的逆矩阵，通常记作 ( A^{-1} )。

性质

1. 唯一性：若矩阵 ( A ) 可逆，则其逆矩阵 ( A^{-1} ) 唯一。
2. 逆的乘法：$ (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} $。
3. 逆的转置：$ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T $。

示例

考虑一个简单的 ( 2 \times 2 ) 矩阵：

$$
A = \begin{pmatrix}
4 & 7 \
2 & 6
\end{pmatrix}
$$

我们需要先计算其行列式来判断其是否可逆：

$$
\text{det}(A) = 4 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 24 - 14 = 10 \neq 0
$$

因为行列式不为零，矩阵 ( A ) 可逆。接下来，我们可以使用以下公式计算逆矩阵：

$$
A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix}
d & -b \
-c & a
\end{pmatrix} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix}
6 & -7 \
-2 & 4
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0.6 & -0.7 \
-0.2 & 0.4
\end{pmatrix}
$$

Python 实现

在 Python 中，我们同样可以使用 NumPy 来计算逆矩阵。以下是一个示例代码：

import numpy as np

A = np.array([[4, 7], [2, 6]])
A_inv = np.linalg.inv(A)

print("原矩阵 A:\n", A)
print("逆矩阵 A^{-1}:\n", A_inv)

小结

在这一篇中，我们学习了矩阵的转置和逆的概念、性质和计算方法。这些概念在机器学习及深度学习中起着重要作用，它们可以用来处理线性变换、优化问题等。在下一篇中，我们将讨论行列式的定义，进一步扩展我们的线性代数知识。请继续关注！