5 向量与矩阵的运算

在上一篇中，我们探讨了向量与矩阵的定义与表示。本篇将围绕向量与矩阵之间的基本运算进行讲解，帮助大家更好地理解如何在实际问题中应用这些数学工具。

向量和矩阵的基本概念回顾

在深入运算之前，让我们先回顾一下向量和矩阵的基本概念。

• 向量：向量是一个有序的数字集合，通常用 $n \times 1$ 的列矩阵表示。例如，向量 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix}$ 是一个三维向量。

• 矩阵：矩阵是一个由数值排列成的二维数组。一个 $m \times n$ 的矩阵可以表示为 $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix}$。

向量的运算

向量之间可以进行多种运算，最常见的包括向量的加法和数乘，以及点积运算。

向量加法

若有两个向量 $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \ u_2 \ \vdots \ u_n \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \ v_2 \ \vdots \ v_n \end{bmatrix}$，它们的和 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$ 形成一个新的向量 $\mathbf{w}$，如下所示：

$$
\mathbf{w} = \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \ u_2 + v_2 \ \vdots \ u_n + v_n \end{bmatrix}
$$

示例

考虑向量 $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \ 3 \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \ 2 \end{bmatrix}$：

$$
\mathbf{w} = \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 + 4 \ 3 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \ 5 \end{bmatrix}
$$

向量的数乘

若有一个标量 $k$ 和向量 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \ v_2 \ \vdots \ v_n \end{bmatrix}$，则数乘的结果为：

$$
k \mathbf{v} = \begin{bmatrix} k v_1 \ k v_2 \ \vdots \ k v_n \end{bmatrix}
$$

示例

设标量 $k = 3$ 和向量 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \ 4 \end{bmatrix}$，我们可以计算：

$$
k \mathbf{v} = 3 \begin{bmatrix} 2 \ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \cdot 2 \ 3 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \ 12 \end{bmatrix}
$$

向量的点积（内积）

向量的点积是一个重要的运算。在两个向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的情况下，其点积定义为：

$$
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \ldots + u_n v_n
$$

示例

考虑向量 $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \ 3 \ -5 \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \ -2 \ -1 \end{bmatrix}$：

$$
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-5) \cdot (-1) = 4 - 6 + 5 = 3
$$

矩阵的运算

矩阵之间的运算主要包括矩阵加法、数乘和矩阵乘法。接下来，我们将关注矩阵加法与数乘的概念。

矩阵加法

对于两个相同维度的矩阵 $A$ 和 $B$，它们的和矩阵 $C$ 是通过相应元素相加计算得到的：

$$
C = A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \ldots \ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \ldots \ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}
$$

示例

假设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 和 $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix}$，那么：

$$
C = A + B = \begin{bmatrix} 1 + 5 & 2 + 6 \ 3 + 7 & 4 + 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \ 10 & 12 \end{bmatrix}
$$

矩阵的数乘

如果有一个标量 $k$ 和矩阵 $A = \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}$，则数乘操作定义为：

$$
kA = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} & \ldots \ k a_{21} & k a_{22} & \ldots \ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}
$$

示例

设有标量 $k = 2$ 和矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则：

$$
kA = 2A = \begin{