13 线性方程组之高斯消元法

在前一篇中，我们讨论了线性方程的定义以及它们的基本性质。今天，我们将重点介绍一种广泛应用于求解线性方程组的方法——高斯消元法。这种方法不仅在数学理论中占有重要地位，也是实际应用中不可或缺的工具。

什么是高斯消元法

高斯消元法是一种通过初等行变换将线性方程组化简为更加简单的形式，从而方便我们求解的方法。其基本思想是将原方程组转化为“上三角形”或“行简化梯形”形式，然后使用回代法求解未知数。

高斯消元法的步骤

1. 构建增广矩阵：将线性方程组转换为增广矩阵的形式。

   对于线性方程组：
   $$
   \begin{align*}
   a_1x + b_1y + c_1z &= d_1 \
   a_2x + b_2y + c_2z &= d_2 \
   a_3x + b_3y + c_3z &= d_3
   \end{align*}
   $$
   我们可以构造增广矩阵：
   $$
   \left[\begin{array}{ccc|c}
   a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \
   a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \
   a_3 & b_3 & c_3 & d_3
   \end{array}\right]
   $$

2. 行变换：通过行操作将矩阵化为上三角形矩阵。行变换包括：

   • 交换两行
   • 将某一行乘以非零常数
   • 用某一行的倍数减去另一行

3. 回代法：当矩阵变为上三角形后，从最后一行开始回代，逐步求解各个未知数。

实例解析

考虑以下线性方程组：
$$
\begin{align*}
2x + 3y + z &= 1 \quad (1) \
4x + y - 2z &= -2 \quad (2) \
-2x + 5y + 3z &= 7 \quad (3)
\end{align*}
$$

步骤 1：构建增广矩阵

增广矩阵为：
$$
\left[\begin{array}{ccc|c}
2 & 3 & 1 & 1 \
4 & 1 & -2 & -2 \
-2 & 5 & 3 & 7
\end{array}\right]
$$

步骤 2：行变换

• 将第一行乘以 $2$ 并减去第二行，得到：
  $$
  R_2 = R_2 - 2R_1
  $$
  $$
  \left[\begin{array}{ccc|c}
  2 & 3 & 1 & 1 \
  0 & -5 & -4 & -4 \
  -2 & 5 & 3 & 7
  \end{array}\right]
  $$

• 将第三行加上第一行的 $1$ 倍，得到：
  $$
  R_3 = R_3 + R_1
  $$
  $$
  \left[\begin{array}{ccc|c}
  2 & 3 & 1 & 1 \
  0 & -5 & -4 & -4 \
  0 & 8 & 4 & 8
  \end{array}\right]
  $$

• 继续对第二行和第三行进行处理，将第二行乘以 $-1/5$，得到：
  $$
  \left[\begin{array}{ccc|c}
  2 & 3 & 1 & 1 \
  0 & 1 & \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \
  0 & 8 & 4 & 8
  \end{array}\right]
  $$

• 减去第三行的 $8$ 倍第二行，得到：
  $$
  R_3 = R_3 - 8R_2
  $$
  $$
  \left[\begin{array}{ccc|c}
  2 & 3 & 1 & 1 \
  0 & 1 & \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \
  0 & 0 & -\frac{4}{5} & 0
  \end{array}\right]
  $$

步骤 3：回代法

从最后一行开始回代：
$$
-\frac{4}{5}z = 0 \implies z = 0
$$

代入第二行：
$$
y + \frac{4}{5}z = \frac{4}{5} \implies y + 0 = \frac{4}{5} \implies y = \frac{4}{5}
$$

代入第一行：
$$
2x + 3\left(\frac{4}{5}\right) + 0 = 1 \implies 2x + \frac{12}{5} = 1 \implies 2x = 1 - \frac{12}{5} = -\frac{7}{5} \implies x = -\frac{7}{10}
$$

因此，解为：
$$
\begin{align*}
x &= -\frac{7}{10}, \
y &= \frac{4}{5}, \
z &= 0.
\end{align*}
$$

总结

高斯消元法是一种系统化的方法，用于求解线性方程组。通过构建增广矩阵并进行适当的行变换，我们可以将方程组简化为更易于处理的形式。在实践中，这一方法非常广泛应用于各种科学与工程领域。下一篇中，我们将讨论齐次方程组与非齐次方程组的区别与应用，敬请期待！