11 行列式的计算

在上一篇中，我们讨论了行列式的性质，了解了行列式在矩阵中所扮演的重要角色。今天，我们将重点探讨如何计算行列式。了解行列式的计算方法对于深入理解线性代数中的各种概念至关重要，尤其是在解决线性方程组时。

定义和基本计算法则

行列式是一个定义在方阵上的数值，可以用来判断矩阵的可逆性以及其所表示的线性变换的特征。对于一个 $n \times n$ 的方阵 $A = [a_{ij}]$，它的行列式记作 $|A|$ 或 $\text{det}(A)$。

二阶行列式的计算

对于 $2 \times 2$ 的矩阵：

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

其行列式计算公式为：

$$\text{det}(A) = ad - bc$$

示例：

考虑矩阵

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

其行列式计算为：

$$\text{det}(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2$$

三阶行列式的计算

对于 $3 \times 3$ 的矩阵：

$$B = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$$

其行列式可以通过“拉普拉斯展开”来计算，公式为：

$$\text{det}(B) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$$

示例：

考虑矩阵

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$$

其行列式计算为：

$$\text{det}(B) = 1(1 \cdot 0 - 4 \cdot 6) - 2(0 \cdot 0 - 4 \cdot 5) + 3(0 \cdot 6 - 1 \cdot 5)$$ $$= 1(0 - 24) - 2(0 - 20) + 3(0 - 5)$$ $$= -24 + 40 - 15 = 1$$

行列式的性质与计算方法

在计算行列式时，我们经常利用以下性质：

1. 行交换：交换矩阵的两行将行列式的值改变符号。
2. 倍加性：如果矩阵的一行加上另一行的倍数，行列式的值不变。
3. 行列式为0：如果矩阵的两行相等，或一行是另一行的线性组合，则行列式为0。

计算更高阶行列式

对于更高阶的行列式（如4阶及以上），可以采用递归的方法，使用“拉普拉斯展开”沿任意一行或一列进行展开，或者使用行列式的性质进行简化。

示例代码（Python）

我们可以使用Python中的NumPy库来计算行列式。下面是一个小示例：

import numpy as np

# 定义一个3x3的矩阵
matrix_B = np.array([[1, 2, 3],
                     [0, 1, 4],
                     [5, 6, 0]])

# 计算行列式
det_B = np.linalg.det(matrix_B)

print(f"Matrix B's determinant is: {det_B}")

运行上述代码将输出：

Matrix B's determinant is: 1.0

总结

通过对行列式的计算方法的学习，我们能够更加深入地理解线性代数中矩阵的性质，特别在解决线性方程组时，行列式为我们提供了有关矩阵是否可逆的重要信息。在下一篇中，我们将探讨线性方程组的定义，并进一步讨论如何用行列式来解决线性方程组。请继续关注，为进一步学习打下坚实的基础。