19 正交向量与正交基

在线性代数中，正交性是一个重要的概念，尤其是在处理高维空间中的数据时，理解正交向量与正交基的概念对于使用AI和机器学习算法至关重要。本篇教程将深入探讨正交向量与正交基的定义及其性质，并结合案例进行说明。

正交向量

首先，让我们回顾一下什么是内积。在上一篇中，我们已经定义了内积的相关性质。正交向量是指在一个内积空间中，两个向量的内积为零。从数学上说，给定向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$，若满足以下条件：

$$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0$$

那么我们就称 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 是正交的。例如，在 $\mathbb{R}^3$ 空间中，向量 $\mathbf{u} = (1, 0, 0)$ 和 $\mathbf{v} = (0, 1, 0)$ 是正交的，因为它们的内积为：

$$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0$$

案例：正交向量的应用

假设我们有一个二维平面上的两个向量 $\mathbf{a} = (2, 3)$ 和 $\mathbf{b} = (-3, 2)$，我们可以检查它们是否正交：

$$\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = 2 \cdot (-3) + 3 \cdot 2 = -6 + 6 = 0$$

由于它们的内积为零，因此我们可以说这两个向量是正交的。

正交基

在一个向量空间中，一个基是指一组线性无关的向量，可以通过这些基向量的线性组合来表示向量空间中的任意向量。我们称一组基为正交基，如果这组基中的任意两个不同向量都是正交的。

例如，在三维空间中，基向量 $\mathbf{e}_1 = (1, 0, 0)$、$\mathbf{e}_2 = (0, 1, 0)$ 和 $\mathbf{e}_3 = (0, 0, 1)$ 组成的基是正交基，因为它们彼此正交，且每个向量的长度为1。

正交基的性质

正交基的一个重要性质是其规范化（单位化）。如果我们将正交基的每个向量都单位化，我们得到一个正交单位基，即每个向量的长度为1。对于正交单位基 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$，我们有：

$$\|\mathbf{e}_i\| = 1, \quad \forall i$$

案例：在Python中计算正交基

我们可以使用格拉姆-施密特过程来从一组线性无关的向量中构造正交基。以下是一个简单的例子，演示如何在Python中实现这一过程：

import numpy as np

def gram_schmidt(vectors):
    orthogonal_vectors = []
    
    for v in vectors:
        for av in orthogonal_vectors:
            v -= np.dot(v, av) / np.dot(av, av) * av
        orthogonal_vectors.append(v)
    
    return np.array(orthogonal_vectors)

# 示例向量
vectors = np.array([[1, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 1]])

# 获取正交基
orthogonal_basis = gram_schmidt(vectors)

print("原始向量:\n", vectors)
print("正交基:\n", orthogonal_basis)

在这个示例中，我们定义了一组向量，并使用格拉姆-施密特过程获取它们的正交基。输出结果将会是一组正交向量。

小结

在这一篇教程中，我们探讨了正交向量和正交基的重要性和基本概念。正交性在多个领域中都有应用，包括信号处理、数据降维和机器学习。正交基的确定能够简化计算，提高数值稳定性。在下一篇中，我们将讨论内积空间在实际应用中的重要性及相关实例，敬请期待！